Relació transitiva

Eixemple: Si a és major que b, i b és major que c, llavors, a és major que c.

Una relació binaria $R$ sobre un conjunt $A$ és transitiva^[1]^[2] quan es complix: sempre que un element es relaciona en un atre i este últim en un tercer, llavors el primer es relaciona en el tercer.

Açò és:

\forall a, b, c \in A : a R b \land b R c ⟶ a R c

Donat el conjunt A i una relació R, esta relació és transitiva si: a R b i b R c es complix a R c.

La propietat anterior es coneix com transitividad.

Eixemples

Aixina per eixemple donat el conjunt N dels número natural i la relació d'orde "menor o igual que" veem que és transitiva:

\forall a, b, c \in ℕ : a \leq b \land b \leq c ⟶ a \leq c

Aixina, ya que:

2, 5, 7 \in ℕ : 2 \leq 5 \land 5 \leq 7 ⟶ 2 \leq 7

En general les relacions d'orde (ser menor, major, igual, menor o igual, major o igual) són transitivas.

Prenent de nou el conjunt dels número natural, i la relació dividix a:

\forall a, b, c \in ℕ : a | b \land b | c ⟶ a | c

Per a qualsevol dels número natural a, b i c: si a dividix a b i b dividix a c llavors a dividix a c

Ya que 3|12 (3 dividix a 12) i 12|48 (12 dividix a 48), la transitividad establix que 3|48 (3 dividix a 48).

No obstant, no totes les relacions binarias són transitivas. La relació "no és subconjunt" no és transitiva. Per eixemple, si X = {1,2,3}, I={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Llavors

Es complix $X \subset̸ Y$ i $Y \subset̸ Z$ pero no es complix $X \subset̸ Z$ lloc que $X$ és subconjunt de $Z$ .

Un atre eixemple de relació binaria que no és transitiva és "ser la mitat de": 5 és la mitat de 10 i 10 és la mitat de 20, pero 5 no és la mitat de 20.

Representació

Una relació binaria es pot representar com parells ordenats, per mig d'una matriu de adyacencia o per mig d'un grafo. Per al cas d'una relació transitiva, cada una d'estes representacions té característiques especials:

Com parells ordenats, $\forall a, b, c \in A, (a, b) \in R \land (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R$

Com matriu de adyacencia $M$ , la matriu és tal que $M \lor M^{2} = M .$

Com grafo, cada volta que des d'un nodo $v_{1}$ es puga aplegar a un atre $v_{3}$ , passant primer per un nodo intermig $v_{2}$ , llavors també existirà l'aresta $(v_{1}, v_{3})$ .

Vore també

Propietats de la relació binaria homogénea:

Relació transitiva
Relació intransitiva

Relació total

Conceptes relacionats:

Silogisme hipotètic

Referències

↑ Caicedo Barrero (2010). «2.4», Introducció a la Teoria de Grafos, 1 edició (en espanyol), Edicions Elizcom, p. 21. ISBN 978-958-993-257-5.
↑ Richard Johnsonbaugh (2005). «3», Matemàtiques discretes, 6 edició (en espanyol), Pearson Educació, p. 118. ISBN 978-970-260-637-6.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Relación transitiva» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Caicedo Barrero (2010). «2.4», Introducció a la Teoria de Grafos, 1 edició (en espanyol), Edicions Elizcom, p. 21. ISBN 978-958-993-257-5.

[2] Richard Johnsonbaugh (2005). «3», Matemàtiques discretes, 6 edició (en espanyol), Pearson Educació, p. 118. ISBN 978-970-260-637-6.

[1]

[2]