Divisibilidad

Archiu:Cuisenaire ten.JPG

Divisibilidad

En matemàtiques, concretament en aritmètica, es diu que un número entero b és divisible entre un atre sancer a (distint de zero) si en dividir $b$ entre $a$ el restant és zero o, dit simbòlicament, $bmoda=0$.

Se sol expressar de la forma $a\mid b$, que es llig: «a dividix a b», o «a és un divisor de b» o també «b és múltiple de a». Per eixemple, 6 és divisible entre 3, ya que 3×2=6; pero 6 no és divisible entre 4, puix no existix un sancer $c$ tal que $4\times c=6$; és dir que el restant de la divisió euclídea (sancera) de 6 entre 4 no és zero.

Qualsevol número natural és divisible entre 1 i entre sí mateixa. Els números majors que 1 que no admeten més que estos dos divisores es diuen número primo. Els que admeten més de dos divisores es diuen número compuesto.

Definició

L'número entero $a$ és divisible entre l'número entero $b\ne 0$ (o lo que és lo mateix, b dividix a a) si hi ha un número $q$ sancer, tal que $a=b\cdot q$.

Este fet es denomina divisibilidad de l'número entero $a$ per l'número entero $b$ i es denota per $b|a$; que no és una atra cosa que una afirmació entre els número entero, que, en un context concret, pot ser certa o no. Per eixemple $3|12$ és certa; no obstant, $3|17$ no és certa. Si $b$ no és divisor de $a$ s'escriu $b\nmid a$. Note's que $0\nmid a$ para tot $a$ distint de zero, puix $\mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z}\text{ tal que }a=0\cdot k\text{ si }a\ne 0$.

Factor o divisor propi

Es denomina factor o divisor propi d'un número entero n, a un atre número també entere que és divisor de n, pero diferent de n. El divisor n és denominat impropi.

Per eixemple, els divisores propis de 28 són 1, 2, 4, 7 i 14. Quan es prenen en conte sancers negatius, un divisor propi és aquell que el seu valor absolut és menor que el número donat. En este cas, els divisores propis serien -14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14.

Casos especials: 1 i -1 són factors trivials de tots els sancers, i cada sancer és divisor de 0. Els números divisibles per 2 són cridats pares i els que no ho són es diuen impars.

Si d és un divisor de a i l'únic divisor que admet d és 1 i ell mateixa, es diu divisor primer de a. De fet és un número primo. L'1 és l'únic sancer que té un sol divisor positiu.

Vore també

• Taula de divisores
• Màxim comú divisor
• Conmensurabilidad
• Divisor unitari