Divisor unitari

En matemàtica, un número natural a és un divisor unitari d'un número b si a és un divisor de b i si a i $\frac{b}{a}$ són coprimos, no tenint un factor comú diferent d'1. Aixina, 5 és un divisor unitari de 60, ya que 5 i $\frac{60}{5}=12$ tenen únicament 1 com a factor comú, mentres que 6 és un divisor, pero no un divisor unitari de 60, ya que 6 i $\frac{60}{6}=10$ tenen un factor comú distint d'1, que és 2. 1 és un divisor unitari de qualsevol número natural.

Equivalentemente, un divisor a de b és un divisor unitari si i solament si tot factor primer de a té la mateixa multiplicitat en a com esta la té en b.

La funció suma de divisores unitaris es denota per mig de la lletra minúscula grega sigma, aixina: σ*(n). La suma de les k-ésimas potències dels divisores unitaris es denota per σ*_k(n):

${\sigma }_k^{*}(n)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{d\mid n}{\mathrm{mcd}(d,n/d)=1}}{d}^k.$

Es denomina número perfecto unitari a la suma de tots els divisoris unitaris propis d'un número natural compost.

Propietats

El número de divisores unitaris d'un número n és 2^k, a on k és el número de factors primers distints de n. La suma de divisores unitaris de n és impar si n és una potència de 2 (incloent 1), i parell de qualsevol atra forma.

Abdós, cantitat i suma de divisores unitaris de n són funcions multiplicativas de n que no són completament multiplicativas. La funció generadora de Dirichlet és

$\frac{\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}=\sum _{n\ge 1}\frac{{\sigma }_k^{*}(n)}{n^s}.$

Divisores unitaris impars

La suma de les k-ésimas potències dels divisores unitaris impars és

${\sigma }_k^{(o)*}(n)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{\genfrac{}{}{0ex}{}{d\mid n}{d\equiv 1(\mathrm{mod}2)}}{\mathrm{mcd}(d,n/d)=1}}{d}^k.$

Esta també és multiplicativa, en una funció generadora de Dirichlet

$\frac{\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}=\sum _{n\ge 1}\frac{{\sigma }_k^{(o)*}(n)}{n^s}.$

Referències i notes

• Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, p. 84. ISBN 0-387-20860-7. Section B3.
• Paulo Ribenboim (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory, Springer-Verlag, p. 352. ISBN 0-387-98911-0.
• Plantilla:Cite article
• «Unitarism and Infinitarism». Archivat des d'el original, el 21 de juliol de 2011.
• Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications, New York etc.: John Wiley & Sons, p. 395. ISBN 0-471-80634-X.
• (2006) Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9.