Llei de tricotomia

En matemàtiques, la llei de tricotomia afirma que cada número real és ben positiu, negatiu o zero.En general, una relació binaria $R$ sobre un conjunt $X$ es diu tricotómica si para tot $x$ i $y$ en $X$, es complix exactament una de les següents relacions: $xRy$, $yRx$ o $x=y$. Si es representa la relació $R$ com $<$, esta afirmació es traduïx a llògica formal com:

$\begin{array}{cc}(\mathrm{\forall }x\in X\mathrm{\forall }y\in X)& ([x<y\wedge \mathrm{\neg }(y<x)\wedge \mathrm{\neg }(x=y)]\\ & \vee [\mathrm{\neg }(x<y)\wedge y<x\wedge \mathrm{\neg }(x=y)]\\ & \vee [\mathrm{\neg }(x<y)\wedge \mathrm{\neg }(y<x)\wedge x=y])\end{array}$

Per eixemple, en el cas d'un conjunt de tres elements $\{a,b,c\}$, la relació $R$ donada per $aRb$, $aRc$ o $bRc$ és un orde total estricte, mentres que la relació $R$ donada pel cíclico $aRb$, $bRc$ o $cRa$ és una relació tricotómica no transitiva. Si tal relació és també transitiva, és un orde total estricte; est és un cas especial d'un preorden total dèbil.

En llògica clàssica, este axioma de tricotomia s'utilisa per a comparacions ordinàries entre números irreals i, per lo tant, també per a comparacions entre decimals i entre irracionals. La llei generalment no s'utilisa en llògica intuicionista.

En els axioma de Zermelo-Fraenkel i la teoria de conjunts de Von Neumann-Bernays-Gödel, la llei de tricotomia s'utilisa entre els cardinals de conjunts ben ordenats inclús sense l'axioma d'elecció. Si s'utilisa l'axioma d'elecció, llavors la tricotomia s'utilisa entre cardinals arbitraris (perque en eixe cas tots estan ben ordenats).

En la definició d'un domini integral ordenat, o camp ordenat, la llei de tricotomia és usualment presa com més fundacional que la llei d'orde total.

Una relació tricotómica no pot ser reflexiva, ya que $xRx$ deu ser falsa. Si una relació tricotómica és transitiva, la mateixa és trivialment antisimètrica i també asimètrica, ya que no es poden sostindre junts $xRy$ i $yRx$.

Vore també

• Dicotomia
• Principi de no contradicció
• Principi del tercer exclós