Preorden total

En Teoria de l'Orde, una relació binaria R es diu preorden total sobre un conjunt X si en les següents propietats:

• (Total)

$\mathrm{\forall }x,y\in X:xRy\vee yRx$

• (Transitiva)

$\mathrm{\forall }x,y,z\in X:xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz$

Eixemple

En Teoria d'Elecció Social podem dir l'orde de preferències és un preorden total. Supongam que tenim quatre candidats a, b, c i d. Pot ocórrer que:

• a siga més preferit que b $(a\lesssim b)$
• a siga més preferit que c $(a\lesssim c)$
• b més preferit que d $(b\lesssim d)$
• c més preferit que d $(c\lesssim d)$
• b és incomparable en c $(b\lesssim c\vee c\lesssim b)$

És fàcil verificar que $\lesssim$ és un preorden total.