Distributividad (teoria de l'orde)

En l'àrea matemàtica de la teoria de l'orde existixen variades nocions del concepte comú de distributividad, aplicat a la formació de suprems i ínfims. En la seua majoria es referixen a conjunts parcialment ordenats que a lo manco siguen retículs, pero resulta igualment possible generalisar el concepte per a aplicar-ho a semirretículos.

Retículs distributivos

Provablement el tipo més comú de distributividad siga aquell definit para retículs, a on la formació de suprems i ínfims binarios pot interpretar-se com a operacions totals ($\vee$) i ($\wedge$). La distributividad d'eixes dos operacions s'expressa, acte seguit, exigint que l'identitat

$x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)$

es complixca para tot element x, i i z. Esta llei de distributividad definix la classe dels retículs distributivos. Note's que este requeriment pot reformular-se dient que els ínfims binarios preserven als suprems binarios. Se sap que l'anterior enunciat és equivalent al seu dual en térmens de la teoria de l'orde

$x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)$

de modo que basta una d'estes dos propietats basta per a definir la distributividad en el cas dels retículs. Entre els eixemples més típics de retículs distributivos es conten els conjunts totalment ordenats, les àlgebra de Boole i les àlgebra de Heyting.

Distributividad per a semirretículos

Els semirretículos són conjunts parcialment ordenats en només una de les dos operacions de retículs, per lo que parlem de semirretículos inferiors i de semirretículos superiors. Ya que solament existix una operació binaria, és obvi que la distributividad no pot definir-se de la manera acostumada. No obstant, per l'interacció d'eixa operació única en l'orde donat, seguix sent possible la següent definició de distributividad. Un semirretículo inferior és distributivo, si para tot a, b i x:

Si a ∧ b &li; x, existixen a' i b' tals que a &li; a' , b &li; b' i x = a' ∧ b' .

Esta definició es justifica pel fet de que, donat un retícul L qualsevol, els següents juïns són tots equivalents:

• L és distributivo com semirretículo inferior
• L és distributivo com semirretículo superior
• L és un retícul distributivo.

Per tant, tot semirretículo inferior en suprems binarios és un retícul distributivo. Els semirretículos superiors distributivos es definixen dualmente: un semirretículo superior és distributivo, si para tot a, b i x:

Si x &li; a ∨ b, existixen a' i b' tals que a' &li; a , b' &li; b i x = a' ∨ b' .

Un semirretículo superior és distributivo si i només si el retícul dels seus ideals (ordenats per inclusió) és distributivo.

Esta definició de distributividad permet generalisar certes proposicions sobre retículs distributivos al cas dels semirretículos distributivos.

Bibliografia

La distributividad és un concepte bàsic que sol tractar-se en tot text sobre teoria de retículs i de l'orde. Vore la bibliografia per als artículs sobre teoria de l'orde i teoria de retículs. Com a referència més específica pot mencionar-se:

• G. N. Raney, Completely distributive complete lattices, Proceedings of the American Mathematical Society, 3: 677 - 680, 1952.