Retícul distributivo

En matemàtica, un retícul distributivo és un retícul en el qual les operacions d'unió (join) i intersecció (meet) es distribuïxen l'una sobre l'atra. L'eixemple típic d'estes estructures és una colecció de conjunts, a on els operadors queden daus per l'unió de conjunts i l'intersecció de conjunts. De fet, dit eixemple descriu l'escenari per complet: tot retícul distributivo és isomorfo a un retícul de conjunts.

Definició formal

Com en el cas dels retículs arbitraris, un retícul distributivo L pot definir-se equivalentemente com una estructura des del punt de vista de la teoria de l'orde o del àlgebra universal.

Definició algebraica

Un retícul (L,$\vee$, $\wedge$) és distributivo si lo següent es complix per a tot x, i, z en L:

$x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z).$

Veent els retículs com conjunts parcialment ordenats, es diu que l'operador meet "preserva" un número finito i no buit d'operadors join. Un resultat bàsic de la teoria de retículs és que la condició de dalt és equivalent a la seua dual:

$x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z).$

Una atra definició equivalent és dir que L és distributivo si i només si lo següent es complix per a qualssevol elements x, i, z en L:

$(x\wedge y)\vee (y\wedge z)\vee (z\wedge x)=(x\vee y)\wedge (y\vee z)\wedge (z\vee x).$

Lo que a la seua volta és equivalent a dir

$(x\wedge z=y\wedge z)$ i $(x\vee z=y\vee z)$ implica $x=y$.

Morfismos

Un morfismo de retículs distributivos és una funció que és compatible en els dos operadors meet i join.

Eixemples

Retícul de Young.

Els retículs distributivos són estructures ubiqües i al mateix temps molt específiques. L'eixemple típic és la família de conjunts proveïda dels operadors d'unió i intersecció. Atres eixemples són:

• Tota Àlgebra de Boole és un retícul distributivo.
• l'Àlgebra de Lindenbaum–Tarski de la llògica, a on l'operador de conjunció es distribuïx sobre el de disjunció, i viceversa.
• Tota Àlgebra de Heyting és un retícul distributivo. Est inclou especialment als retículs locals, i per tant a tots els retículs de conjunts oberts dels espais topològics. Les àlgebra de Heyting poden vore's com a Àlgebra de Lindenbaum de llògica intuicionista, lo que ho convertix en un cas particular de l'eixemple anterior.
• Els conjunts totalment ordenats en el màxim com join i el mínim com meet.
• Els número natural conformen un retícul distributivo complet, en el màxim comú divisor com meet i el mínim comú múltiple com join.
• Donat un sancer positiu n, el conjunt de tots els divisorés positius de n, en el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple com meet i join, respectivament. Esta és un àlgebra booleana sí i només si n és un sancer lliure de quadrats.
• Un espai vectorial reticular ordenat, comunament cridat espai de Riesz.
• El retícul de Young donat per l'inclusió que ordena la taula de Young representant particions sanceres.

Referències

Bibliografia

• Burris, Stanley N., i H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.