Varietat de Stiefel

En matemàtiques, la varietat de Stiefel $V_{k} (ℝ^{n})$ és el conjunt de tots els k-marcs ortonormalés en $ℝ^{n},$ és dir, és el conjunt de les k-tuplas de vectorés ortonormals ordenats en $ℝ^{n} .$ Du el nom del matemàtic suís Eduard Stiefel. De la mateixa manera, es pot definir la varietat de Stiefel complexa $V_{k} (ℂ^{n})$ de k-marcs ortonormals en $ℂ^{n}$ i la varietat de Stiefel cuaterniónica $V_{k} (ℍ^{n})$ de k-marcs ortonormals en $ℍ^{n}$ . De manera més general, la construcció s'aplica a qualsevol espai prehilbertiano real, complex o cuaterniónico.

En alguns contexts, una varietat de Stiefel no compacta es definix com el conjunt de tots els k-marcs linealmente independents en $ℝ^{n}, ℂ^{n},$ o en $ℍ^{n};$ resultant una equivalència homotópica, ya que la varietat de Stiefel compacta és una retracció de deformació de la no compacta, per mig del procés de ortogonalización de Gram-Schmidt. Les afirmacions sobre la forma no compacta corresponen a les de la forma compacta, reemplaçant grup ortogonal (o unitari o grup simpléctico) per grup llineal general.

Topología

Siga $𝔽$ l'equivalent de $ℝ, ℂ,$ o $ℍ .$ . La varietat de Stiefel $V_{k} (𝔽^{n})$ pot considerar-se com un conjunt de matrius n &claves; k expressant un k-marque com una matriu vector columna d'orde k en $𝔽^{n} .$ La condició de ortonormalidad s'expressa per mig de A*A = $I_{k}$ , a on A* denota la matriu trasponer conjugada de A i $I_{k}$ denota la matriu identitat d'orde k &claves; k. Llavors, es té que

V_{k} (𝔽^{n}) = {A \in 𝔽^{n \times k} : A^{*} A = I_{k}} .

La topología en $V_{k} (𝔽^{n})$ és la topología del subespacio heretada de $𝔽^{n \times k} .$ En esta topología, $V_{k} (𝔽^{n})$ és una varietat compacta la dimensió del qual ve donada per

\begin{matrix} \dim V_{k} (ℝ^{n}) & = n k - \frac{1}{2} k (k + 1) \\ \dim V_{k} (ℂ^{n}) & = 2 n k - k^{2} \\ \dim V_{k} (ℍ^{n}) & = 4 n k - k (2 k - 1) \end{matrix}

Com un espai homogéneu

Cada una de les varietats de Stiefel $V_{k} (𝔽^{n})$ pot vore's com un espai homogéneu per a l'acció d'un grup clàssic de forma natural.

Cada transformació ortogonal d'un k-marque en $ℝ^{n}$ dona com resultat un atre k-marque, i dos k-marcs qualssevol estan relacionats per mig d'alguna transformació ortogonal. En atres paraules, el grup ortogonal O(n) actua transitivamente sobre $V_{k} (ℝ^{n}) .$ l'acció d'un marc donat és el subgrup isomorfo O(n−k) que actua de manera no trivial sobre el complement ortogonal de l'espai comprés per eixe marc.

Aixina mateix, el grup unitari O(n) actua transitivamente sobre $V_{k} (ℂ^{n})$ en el subgrup estabilisador O(n−k) i el grup simpléctico Sp(n) actua transitivamente sobre $V_{k} (ℍ^{n})$ en el subgrup estabilisador Sp(n-k).

En cada cas, $V_{k} (𝔽^{n})$ pot vore's com un espai homogéneu:

\begin{matrix} V_{k} (ℝ^{n}) & ≅ O (n) / O (n - k) \\ V_{k} (ℂ^{n}) & ≅ U (n) / U (n - k) \\ V_{k} (ℍ^{n}) & ≅ Sp (n) / Sp (n - k) \end{matrix}

Quan k = n, l'acció corresponent és lliure, de modo que la varietat de Stiefel $V_{n} (𝔽^{n})$ és un espai homogéneu principal per al grup clàssic corresponent.

Quan k és estrictament menor que n, llavors el grup ortogonal SO(n) també actua transitivamente sobre $V_{k} (ℝ^{n})$ en un subgrup estabilisador isomorfo a SO(n−k), de modo que

V_{k} (ℝ^{n}) ≅ SO (n) / SO (n - k) para k < n .

Lo mateixa s'aplica a l'acció del grup unitari especial sobre $V_{k} (ℂ^{n})$

V_{k} (ℂ^{n}) ≅ SU (n) / SU (n - k) para k < n .

Aixina, per a k = n − 1, la varietat de Stiefel és un espai principal homogéneu per al corresponent grup clàssic especial.

Vore també

Varietat bandera

Matriu de distribució de Langevin^[1]^[2]

Referències

↑ “Concentrated matrix Langevin distributions” (en) . Journal of Multivariate Analysis 85 (2): 375–394. doi:10.1016/S0047-259X(02)00065-9. ISSN 0047-259X.
↑ “Conjugate Priors and Posterior Inference for the Matrix Langevin Distribution on the Stiefel Manifold” . Bayesian Analysis 15 (3): 871–908. doi:10.1214/19-BA1176. ISSN 1936-0975.

Bibliografia

Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology, Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
Husemoller, Dona-li (1994). Fibre Bundles, (3rd ed.) edició, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94087-1.
James, Ioan Mackenzie (1976). The topology of Stiefel manifolds, CUP Archive. ISBN 978-0-521-21334-9.
Plantilla:Springer

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Variedad de Stiefel» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] “Concentrated matrix Langevin distributions” (en) . Journal of Multivariate Analysis 85 (2): 375–394. doi:10.1016/S0047-259X(02)00065-9. ISSN 0047-259X.

[2] “Conjugate Priors and Posterior Inference for the Matrix Langevin Distribution on the Stiefel Manifold” . Bayesian Analysis 15 (3): 871–908. doi:10.1214/19-BA1176. ISSN 1936-0975.

[1]

[2]