Procés de ortogonalización de Gram-Schmidt

Archiu:Gram-Schmidt orthonormalization process.gif

Animació que descriu el procés de ortonormalización en l'espai tridimensional

En àlgebra llineal, el procés de ortogonalización de Gram–Schmidt és un algoritme per a construir, a partir d'un conjunt de vectores d'un espai vectorial en producte intern, un atre conjunt ortonormal de vectores que genere el mateix subespacio vectorial.

El procés es basa en un resultat de la geometria euclídea, el qual establix que la diferència entre un vector $𝐯$ i la seua proyecció sobre un atre vector $𝐮$, és perpendicular al vector $𝐮$. Dit resultat constituïx una ferramenta per a construir, a partir d'un conjunt de dos vectores no paralels, un atre conjunt, conformat per dos vectores perpendiculars.

Este algoritme rep el seu nom dels matemàtics Jørgen Pedersen Gram i Erhard Schmidt.

Interpretació geomètrica

En l'espai euclídeo ${ℝ}^3$ en el producte escalar usual definit, es propon un método per a trobar un sistema de vectores, perpendicular entre sí, a partir de tres vectores no coplanarios qualssevol. Sean ${𝐯}_1,{𝐯}_2,{𝐯}_3\in {ℝ}^3$ dits vectores.

El método consistix de dos proyeccions. La base ortogonal de ${ℝ}^3$ composta per ${𝐮}_1,{𝐮}_2,{𝐮}_3$, es calcula de la següent manera.

1. Es tria arbitrariamente un dels vectores donats, per eixemple, ${𝐮}_1={𝐯}_1$.
2. ${𝐮}_2$ es calcula com la diferència entre ${𝐯}_2$ i el vector que resulta de proyectar a ${𝐯}_2$ sobre ${𝐮}_1$. Dita diferència és perpendicular a ${𝐮}_1$. És equivalent afirmar que ${𝐮}_2$ és la diferència entre ${𝐯}_2$ i el vector que resulta de proyectar a ${𝐯}_2$ sobre la recta que genera ${𝐮}_1$.
3. ${𝐮}_3$ és la diferència entre ${𝐯}_3$ i el vector que resulta de proyectar a ${𝐯}_3$ sobre el pla generat per ${𝐮}_1$ i ${𝐮}_2$. La diferència de vectores té com resultat un atre vector que és perpendicular al pla.

Esta senzilla interpretació de l'algoritme per a un cas que pot vore's és susceptible de generalisació a espais vectorials de dimensió arbitrària, en productes interns definits, no necessàriament canònics. Dita generalisació no és una atra que el procés de Gram-Schmidt.

Descripció de l'algoritme de ortogonalización de Gram–Schmidt

Els dos primers passos del procés de Gram–Schmidt

Els dos primers passos del procés de Gram–Schmidt

El método de Gram-Schmidt s'usa per a trobar bases ortogonals (Espai Euclideo no normalisat) de qualsevol base no euclídea.

En primer lloc tenim que:

$𝐯-\frac{⟨𝐯,𝐮⟩}{⟨𝐮,𝐮⟩}𝐮=𝐯-{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{y}}_{𝐮}(𝐯)$

És un vector ortogonal a $𝐮$. Llavors, donats els vectores ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n$ , es definix:

	${𝐮}_1={𝐯}_1,$
	${𝐮}_2={𝐯}_2-\frac{⟨{𝐯}_2,{𝐮}_1⟩}{⟨{𝐮}_1,{𝐮}_1⟩}{𝐮}_1,$
	${𝐮}_3={𝐯}_3-\frac{⟨{𝐯}_3,{𝐮}_1⟩}{⟨{𝐮}_1,{𝐮}_1⟩}{𝐮}_1-\frac{⟨{𝐯}_3,{𝐮}_2⟩}{⟨{𝐮}_2,{𝐮}_2⟩}{𝐮}_2,$ Generalisant en k:
	${𝐮}_k={𝐯}_k-\sum _{j=1}^{k-1}\frac{⟨{𝐯}_k,{𝐮}_j⟩}{⟨{𝐮}_j,{𝐮}_j⟩}{𝐮}_j$

A partir de les propietats del producte escalar, és senzill provar que el conjunt de vectores ${𝐮}_1,\dots ,{𝐮}_n$ és ortogonal.

Els conjunts aixina definits satisfan la següent relació.

Per a obtindre una base ortonormal a partir de $ℰ$, n'hi ha prou en dividir entre la norma de cada vector de la base trobada: ${𝐞}_k=\frac{{𝐮}_k}{||{𝐮}_k||}=\frac{{𝐮}_k}{\sqrt{⟨{𝐮}_k,{𝐮}_k⟩}}$

Eixemples

• Donada $ℬ=\{{𝐯}_1,{𝐯}_2\}$ una base de ${ℝ}^2$ definida per per mig del procés de Gram-Schmidt és possible construir una base ortogonal $ℰ=\{{𝐮}_1,{𝐮}_2\}$ sobre el producte intern usual de ${ℝ}^2$.

  $⟨(a,b),(c,d)⟩=ac+bd$.

  Es calculen els vectores o₁ i o₂ a partir de les fòrmules.

  
  

  note's que

  
  

  de fet, donat qualsevol vector $(a,b)\in {ℝ}^2$ i $\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ$ es complix

  $⟨(a,b),\alpha (-b,a)⟩=0$.

• Siga $ℬ=\{{𝐯}_1,{𝐯}_2,{𝐯}_3\}$ el sistema definit per Apliquem el procés, seleccionem per eixemple i calculem després Análogamente se seguix para o₃ que $\{\begin{array}{ccc}{\mathrm{proy}}_{{𝐮}_1}\left({𝐯}_3\right)& =& \left[\begin{array}{c}4\\ 2\\ 2\end{array}\right]\\ {\mathrm{proy}}_{{𝐮}_2}\left({𝐯}_3\right)& =& \left[\begin{array}{c}-\frac{24}{7}\\ -\frac{16}{7}\\ \frac{64}{7}\end{array}\right]\\ {𝐮}_3={𝐯}_3-{\mathrm{proy}}_{{𝐮}_1}\left({𝐯}_3\right)-{\mathrm{proy}}_{{𝐮}_2}\left({𝐯}_3\right)& =& \left[\begin{array}{c}\frac{10}{7}\\ -\frac{19}{7}\\ -\frac{1}{7}\end{array}\right]\end{array}$ finalment s'obté $ℰ=\{{𝐮}_1,{𝐮}_2,{𝐮}_3\}=\{\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 8\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{10}{7}\\ -\frac{19}{7}\\ -\frac{1}{7}\end{array}\right]\}$ que és una base ortogonal de R³ sobre el producte escalar canònic.