Base dual

En àlgebra llineal, una base dual o base biortogonal és un conjunt de vectores que formen una base per al espai dual d'un espai vectorial. Per a un espai vectorial V de dimensions finitas, l'espai dual V* és isomorfo a V i per a qualsevol conjunt donat de vectores base {i₁, …, i_n} de V, hi ha associada una base dual {i¹,...,iⁿ} de V* en la relació

${{𝐞}^{*}}^i\cdot {𝐞}_j=\{\begin{array}{cc}1\text{,}& \text{si }i=j\\ 0\text{,}& \text{si }i\ne j\end{array}$

Concretament, podem escriure vectores en un espai vectorial V de n dimensions com una matriu de columna de n × 1 dimensions i els elements de l'espai dual V* com a matrius de fila d'1 × n que actuen com a funcionals llineals per mig de la multiplicació matricial a l'esquerra.

També s'usa la delta de Kronecker com a nomenclatura per a la definició anterior com seguix

${𝐞}^{*i}\cdot {𝐞}_j={\delta }_j^i$ (també notada com ${\delta }_{ij}$)

I en molts texts d'àlgebra llineal també és comuna representar el producte punt o intern de dos vectores únicament tancant en un paréntesis el segon vector com seguix

${𝐞}^{*i}\left({𝐞}_j\right)={\delta }_j^i$

Aixina com assumir que són vectores sense usar negreta, degut ya siga a que estan en un producte punt o a que no tenen subíndexs o superíndexs com seguix:

$e^{*i}\left(e_j\right)={\delta }_j^i$

Per al cas d'un espai tridimensional, tenint una base donada i, es pot trobar la base biortogonal (dual) per mig d'estes fòrmules:

$e_1^{*}=\frac{[e_2;e_3]}{(e_1;e_2;e_3)},e_2^{*}=\frac{[e_1;e_3]}{(e_1;e_2;e_3)},e_3^{*}=\frac{[e_1;e_2]}{(e_1;e_2;e_3)}$

L'us Del qual s'aclarix millor en el següent eixemple.

Eixemple

Trobar la base dual per a un espai en R³ les bases del qual estan donades per:

$\begin{array}{ccc}{𝐞}_1=\left[\begin{array}{c}5\\ -2\\ 6\end{array}\right]& {𝐞}_2=\left[\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -4\end{array}\right]& {𝐞}_3=\left[\begin{array}{c}9\\ -5\\ 7\end{array}\right]\end{array}$

Calculem la base dual per al seu espai dual

${𝐞}^{*1}=\frac{\left|\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& -3& 9\\ x_2& -1& -5\\ x_3& -4& 7\end{array}\right]\right|}{\left|\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 9\\ -2& -1& -5\\ 6& -4& 7\end{array}\right]\right|}=\frac{-27}{39}{x}_1+\frac{-15}{39}{x}_2+\frac{24}{39}{x}_3=\left(\frac{-27}{39}\text{, }\frac{-15}{39}\text{, }\frac{24}{39}\right)$

${𝐞}^{*2}=\frac{\left|\left[\begin{array}{ccc}5& x_1& 9\\ -2& x_2& -5\\ 6& x_3& 7\end{array}\right]\right|}{\left|\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 9\\ -2& -1& -5\\ 6& -4& 7\end{array}\right]\right|}=\frac{-16}{39}{x}_1+\frac{-19}{39}{x}_2+\frac{7}{39}{x}_3=\left(\frac{-16}{39}\text{, }\frac{-19}{39}\text{, }\frac{7}{39}\right)$

${𝐞}^{*3}=\frac{\left|\left[\begin{array}{ccc}5& -3& x_1\\ -2& -1& x_2\\ 6& -4& x_3\end{array}\right]\right|}{\left|\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 9\\ -2& -1& -5\\ 6& -4& 7\end{array}\right]\right|}=\frac{14}{39}{x}_1+\frac{2}{39}{x}_2+\frac{-11}{39}{x}_3=\left(\frac{14}{39}\text{, }\frac{2}{39}\text{, }\frac{-11}{39}\right)$

per a comprovar que el nostre resultat està be, usem la condició

${{𝐞}^{*}}^i\cdot {𝐞}_j=\{\begin{array}{cc}1\text{,}& \text{si }i=j\\ 0\text{,}& \text{si }i\ne j\end{array}$

que és equivalent en este cas a

$\left[\begin{array}{ccc}{e^{*}}_1^1& {e^{*}}_2^1& {e^{*}}_3^1\\ {e^{*}}_1^2& {e^{*}}_2^2& {e^{*}}_3^2\\ {e^{*}}_1^3& {e^{*}}_2^3& {e^{*}}_3^3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{e}_1^1& e_2^1& e_3^1\\ e_1^2& e_2^2& e_3^2\\ e_1^3& e_2^3& e_3^3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

en substituir s'obté

$\left[\begin{array}{ccc}-27/39& -15/39& 24/39\\ -16/39& -19/39& 7/39\\ 14/39& 2/39& -11/39\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 9\\ -2& -1& -5\\ 6& -4& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

la qual cosa demostra que el nostre procediment és correcte

Propietats de la base dual

Efecte en un vector

Cada vector v d'un espai vectorial V pot ser expressat únicament com una combinació llineal dels elements de la base

$𝐯=\sum _{i=1}^n{v}^i{𝐞}_i$

El resultat d'aplicar i^*i en v és el següent:

${𝐞}^{*i}\cdot \left(𝐯\right)={𝐞}^{*i}\cdot \left(\sum _{k=1}^n{v}^k\cdot {𝐞}_k\right)=\sum \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\backslash limits}}}{v}^k({𝐞}^{*i}\cdot {𝐞}_k)=\sum \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\backslash limits}}}{v}^k\left({\delta }_k^i\right)$

I per això i^*i és la transformació llineal (proyecció) que "extrau" d'un vector v la component $v^i$ de la seua vector de coordenades respecte a la base.

Coordenades respecte a la base dual

Fem que F siga un element genèric de V^*, és dir una transformació llineal F des de l'espai vectorial V al K. Aplicat a un vector

$𝐯=\sum _{i=1}^n{v}^i{𝐞}_i$

Produïx la relació:

$F\cdot 𝐯=\sum _{i=1}^n{v}^i(F\cdot {𝐞}_i)$

Com es mostra en la fòrmula anterior la trasformación F solament actua sobre els elements de la base de V. Per una atra part F transforma un vector en un element de l'espai K, per lo que F és definit com a n "números":

$f_i=F\cdot {𝐞}_i$

En conseqüència, F és obtinguda d'una combinació llineal de:

$F=\sum _{i=1}^N{f}_i{𝐞}^{*i}$

En efecte eixa és la relació:

$F\cdot 𝐯=\left(\sum _{i=1}^n{f}_i{𝐞}^{*i}\right)\cdot 𝐯=\sum _{i=1}^n{f}_i({𝐞}^{*i}\cdot 𝐯)=\sum _{i=1}^n{f}_i{v}^{*i}$

Cada transformació llineal F en V^* pot ser expressada únicament com una combinació llineal de la transformació iⁱ i per això:

• (i^*1, ..., iⁿ) és efectivament una base de V^*, que és per lo tant de dimensió n;

la f_i és el vector de coordenades de F sobre tal base.

Vore també

• Espai dual