Espai dual

Plantilla:Fusionar des de En matemàtiques, l'existència d'un espai vectorial 'dual' reflectix d'una manera abstracta la relació entre els vectores fila (1×n) i els vectores columna (n×1) d'una matriu. La construcció pot donar-se també per als espais infinit-dimensionals i dona lloc a modos importants de vore les medides, les distribucions i l'espai de Hilbert. L'us de l'espai dual és aixina, en una certa manera, recurs del anàlisis funcional. És també inherent a la transformació de Fourier.

L'espai dual algebraic

Dau un espai vectorial $V$ sobre un cos $𝕂$, es definix el espai dual $V^{*}$ com el conjunt de totes les aplicacions llineals $\phi :V\to 𝕂$, és dir, aplicacions llineals de $V$ a valors escalares (en este context, un escalar és un membre del cos-base $𝕂$).

El propi $V^{*}$ es convertix en un espai vectorial sobre $𝕂$ baixe les següents definicions ("punt a punt") de suma i producte per escalares:

• Suma: $(\phi +\psi )(x)=\phi (x)+\psi (x)$
• Producte per escalares: $(a\cdot \phi )(x)=a\cdot \phi (x)$

per a tots $\phi ,\psi \in V^{*}$, $a\in 𝕂$ i $x\in V$.

Als elements de $V^{*}$ se'ls crida usualment formes llineals o un-formes. En llenguage del càlcul tensorial, als elements de $V$ a voltes se'ls crida vectores contravariantes, i als elements de $V^{*}$, vectores covariants.

Eixemples

Si s'interpreta ${ℝ}^n$ com a espai de columnes de $n$ número real, el seu espai dual s'escriu típicament com l'espai de files de $n$ números. Tal fila actua en ${ℝ}^n$ com a funcional llineal per la multiplicació ordinària de matrius.

Si $V$ consistix en l'espai dels vectores geomètrics (fleches) en el pla, llavors els elements del dual V* es poden intuitivamente representar com a coleccions de llínees paraleles. Tal colecció de llínees es pot aplicar a un vector per a donar un número de la manera següent: es conta quàntes de les llínees creuen el vector.

Considere's l'espai (infinit-dimensional) ${ℝ}^{(\omega )}$, els elements del qual són les successions d'número real que tenen una cantitat finita d'entrades diferents de zero. El dual d'este espai és ${ℝ}^{\omega }$, l'espai de totes les seqüències d'número real. Tal seqüència $\{a_n\}\in {ℝ}^{\omega }$ s'aplica a un element $\{x_n\}\in {ℝ}^{(\omega )}$ per a donar $\sum _n{a}_n\cdot x_n$.

Base dual

Artícul principal → Base dual.

Si la dimensió de $V$ és finita, llavors $V^{*}$ té la mateixa dimensió que $V$. Si $B=\{e_1,\mathrm{...},e_n\}$ és una base de $V$, llavors existix una única base $B^{*}=\{e^1,\mathrm{...},e^n\}$ de $V^{*}$, cridada base dual associada, que verifica:

$e^i(e_j)={\delta }_j^i=\{\begin{array}{cc}1& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}$

Si $V$ és infinit-dimensional, llavors la construcció antedicha no produïx una base de $V^{*}$.

Espai bidual (doble-dual) i teorema de reflexividad

A partir de l'espai dual $V^{*}$, definim el espai bidual $V^{**}$ com el conjunt de totes les aplicacions llineals de $V^{*}$ en $𝕂$. Un important resultat de l'espai bidual és el següent:

Per a demostrar la teorema, necessitem un lema previ:

Daus dos vectores $v,v^{\prime }\in V$ tals que $v\ne v^{\prime }$, existix a lo manco una forma llineal $\bar{\omega }\in V^{*}$tal que $\bar{\omega }(v)\ne \bar{\omega }(v^{\prime })$

Transpuesta d'una transformació llineal

Si $f:V\to W$ és una aplicació llineal, es pot definir la seua transpuesta com

$\begin{array}{cc}{f}^t:W^{*}& \to V^{*}\\ \varphi & \mapsto \varphi \circ f\end{array}$

per a cada $\varphi \in W^{*}$.

Archiu:Trasposecomposition.png

Transpuesta de la composició d'aplicacions llineals.

Si la funció llineal $f$ és representada per la matriu $A$ sobre dos bases de $V$ i $W$, llavors $f^t$ és representada per la matriu transpuesta $A^t$ sobre les respectives bases duals de $W^{*}$ i de $V^{*}$.

Si $f:V_1\to V_2$ i $g:V_2\to V_3$ són dos aplicacions llineals, es té $(g\circ f{)}^t=f^t\circ g^t$.

L'assignació $f\mapsto f^t$ genera un homomorfisme inyectivo entre l'espai d'operadors llineals de $V$ a $W$ i l'espai d'operadors llineals de $W^{*}$ a $V^{*}$. Este homomorfisme és un isomorfisme si i només si $W$ és finito-dimensional o $V$ és trivial.

En el llenguage de la teoria de les categories, prendre el dual dels espais vectorials i la transpuesta de funcions llineals és per lo tant un funtor contravariante de la categoria dels espais vectorials sobre F a sí mateixa.

Els productes bilineales i els espais duals

Com vàrem vore dalt, si V és finito-dimensional, llavors V és isomorfo V*, solament que l'isomorfisme no és natural i depén de la base de V en que comencem. De fet, qualsevol isomorfisme Φ de V a V* definix un producte bilineal no degenerado únic en V per

i cada producte bilineal no degenerado en un espai finito-dimensional dona lloc inversamente a un isomorfisme de V a V*.

L'espai dual topològic

En el cas d'espais de dimensió finita, el dual topològic coincidix en el dual algebraic i el concepte de dual topològic és trivial. No obstant, en espais vectorials de dimensió infinita el dual topològic generalment és estrictament més chicotet que el dual algebraic:

En tractar en un espai vectorial normado V (i.g., un espai de Banach o un espai de Hilbert), típicament s'està interessat solament en els funcionals llineals continus de l'espai en el cos. Estos formen un espai vectorial normado, cridat el dual continu o dual topològic de V, a voltes cridat solament el dual de V. És denotat per V' . La norma $\Vert \cdot \Vert$ d'una funcional llineal contínua en V és definida per:

A on $\sup$ denota el suprem d'un conjunt.

La definició anterior convertix al dual continu o topològic en un espai vectorial normado, de fet en un espai de Banach. Un pugues també parlar del continu d'un espai vectorial topològic arbitrari. Açò és no obstant molt més dur de tractar, ya que en general no serà un espai vectorial normado de cap manera natural.

La definició anterior pot generalisar-se una miqueta, donat un espai vectorial topològic V es definix el espai dual topològic com el subespacio del dual algebraic format per funcions contínues respecte a la topología de V.

Eixemples

• Per a qualsevol espai vectorial normado o espai vectorial topològic finito-dimensional, tal com l'espai euclidiano n-dimensional, el dual continu i el dual algebraic coincidixen.
• Siga 1 < p < ∞ un número real i considere l'espai de Banach [[l^p]] de totes les seqüències a = (a_n) para les que

és finito. Definixca's el número q per 1/p + 1/q = 1. Llavors el dual continu l^p s'identifica naturalment en l^q: donat un element φ de (l^p)', l'element corresponent de l^q és la seqüència (φ(i_n)) a on i_n denota la seqüència el terme de la qual n-ésimo és 1 i tots els demés sò zero. Inversament, donat un element a = (a_n ) ∈ l^q, el funcional llineal continu corresponent φ en l^p és definit per φ(b) = Σ_n a_n b_n per a tota b = (b_n) ∈ l^p (vore la desigualtat de Hölder).

• D'una manera similar, el dual continu de l¹ s'identifica naturalment en l^∞. Ademés, el dual continu dels espais de Banach c (que consistixen en totes les séries convergents, en la norma del suprem) i c₀ (les seqüències que convergixen a zero) són abdós identificades naturalment en l¹.
• Un atre eixemple interessant és el dual topològic de les funcions suaus de soport compacte $C_0^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$ que el seu dual topològic són precisament les distribucions convencionals o funcions generalisades.

Atres propietats

Si V és un espai de Hilbert, llavors el seu dual continu és un espai de Hilbert que és contra-isomorfo a V. Este és el contingut del teorema de representació de Riesz, i dona lloc a la notació bra-ket usada pels físics en la formulació matemàtica de la mecànica quàntica. En analogia en el cas del doble dual algebraic, hi ha sempre un operador llineal continu inyectivo naturalment definit Ψ: V → V'' en el seu doble dual continu V''. Esta funció és de fet una isometría, significant ||Ψ(x)||=||x|| per a tot x en V. Espais per als quals la funció Ψ és una biyección es diuen reflexius. El dual continu es pot utilisar per a definir una nova topología en V, cridada la topología dèbil. Si el dual de V és separable, llavors aixina és l'espai V mateix. L'invers no és veritat; l'espai l¹ és separable, pero el seu dual és l^∞, que no és separable.