Espai separable

En topología, un espai topològic és un espai separable si inclou un subconjunt dens numerable.

Un espai de Hilbert és separable si i solament si admet una base ortonormal numerable.

Espais de Hilbert separables

Siga $(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ un espai de Hilbert separable. Si {i_k}_{k ∈ B} és una base ortonormal numerable de H, llavors cada element x de H es pot escriure com

$x=\sum _{k\in B}⟨e_k,x⟩e_k$

Esta suma també es diu la expansió de Fourier de x.

Eixemples d'espais de Hilbert són ${𝕂}^n$ en $𝕂=ℝ$ o $𝕂=ℂ,$ l'espai de les successions complexes quadrat-sumables ${\ell }^2(𝕂)$ i l'espai de les funcions quadrat-integrables en el sentit de Lebesgue $L^2({ℝ}^n).$ Una gran varietat d'espais de Hilbert que es presenten en la pràctica són separables i són en particular els espais ${𝕂}^n$ i ${\ell }^2(𝕂)$ els prototips principals d'espais de Hilbert, puix tot espai de Hilbert separable de dimensió finita $n$ és isomorfo a ${𝕂}^n$ mentres que tot espai de Hilbert separable de dimensió infinita és isomorfo a ${\ell }^2(𝕂)$.

Eixemples

Espais separables

• El conjunt dels número real R en la topología usual és separable per ser el conjunt dels número racional Q un subconjunt dens numerable. En general, l'espai euclídeo Rⁿ és separable per ser Qⁿ dens i numerable puix és el producte de conjunts numerables.
• Igualment el conjunt dels número complejo C és separable sent en general, l'espai euclídeo Cⁿ també separable.

• Tot espai topològic numerable és separable.
• El conjunt de les funcions contínues en l'interval [0,1] també és separable.
• La propietat de ser separable no és hereditària en general, és dir, existixen espais topològics separables en subespacios no separables. Si un espai mètric és separable, per un atre costat, llavors tots els seus subespacios també ho són.

Espais de Hilbert no-separables

• El conjunt de totes les funcions reals $f:ℝ⟶ℝ$, que només són diferents de zero en un conjunt finito o contable de punts S_f tals que:

Constituïx un espai de Hilbert no separable, dotat del producte escalar entre dos funciones f i g:

Necessàriament estes funcions d'este espai de Hilbert no són contínues, ya que els espais normados de funcions reals contínues definides en ${ℝ}^n$són sempre separables.