Teorema de Tals

Teorema de Tals

Tals de Mileto.

Existixen dos teoremes relacionades en la geometria clàssica que reben el nom de teorema de Tals, abdós atribuïts al matemàtic grec Tals de Mileto en el VI

Les dos teoremes de Tals

Semicírcul que ilustra la segona teorema de Tals.

El primer d'ells explica essencialment una forma de construir un triàngul semblant a partir d'un prèviament existent («els triànguls semblants són els que tenen ànguls congruents, deriva que els seus costats homòlecs siguen proporcionals i viceversa»).

Mentres que el segon desentranya una propietat essencial dels circumcentres de tots els triànguls rectànguls («trobant-se estos en el punt mig de la seua hipotenusa»), a la seua volta en la construcció geomètrica és àmpliament utilisat per a impondre condicions de construcció d'ànguls rectes.

Si diverses rectes paraleles són intersecadas per dos transversal, els segments determinats per les paraleles i corresponents entre transversal, són proporcionals.

Primera teorema

Una aplicació de la teorema de Tals.

Com a definició prèvia a l'enunciat de la teorema, és necessari establir que dos triànguls són semblants si tenen els ànguls corresponents iguals o si els seus costats són proporcionals entre sí. La primera teorema de Tals arreplega un dels resultats més bàsics de la geometria, a saber, que:

Si en un triàngul es traça una llínea paralela a qualsevol dels seus costats, s'obté un triàngul que és semblant al triàngul donat.

Aplicació

De l'establiment de l'existència d'una relació de semblança entre abdós triànguls es deduïx la necessària proporcionalitat entre els seus costats. Això significa que la raó entre la llongitut de dos d'ells en un triàngul es manté constant en l'atre.

Per eixemple, en la figura s'observen dos triànguls que, en virtut de la teorema de Tals, són semblants. Llavors, del mateix es deduïx a modo de corolari que el cocient entre els costats A i B del triàngul chicotet és el mateix que el cocient entre els costats D i C en el triàngul gran. Açò és, que com per la teorema de Tals abdós triànguls són semblants, es complix que:

$\frac{A}{B}=\frac{D}{C}$

Este corolari és la base de la geometria descriptiva. La seua utilitat és evident; segons Heródoto, el propi Tals va amprar el corolari de la seua teorema per a medir l'altura de la piràmide de Keops en Egipte. En qualsevol cas, la teorema demostra la semblança entre dos triànguls, no la constància del cocient.

De la primera teorema de Tals es deduïx ademés lo següent (realment és una atra variant de dit teorema, i, a la seua volta, conseqüència del mateix): Si les rectes A, B, C són paraleles i tallen a atres dos rectes R i S, llavors els segments que determinen en elles són proporcionals.