Folium de Descartes

Folium de Descartes
x³ + i³ − 3axy = 0, a = 1.

El folium de Descartes (‘full de Descartes’) és una curva algebraica proposta per volta primera per Descartes en 1638 en l'equació implícita:

$x^3+y^3-3axy=0$

També pot ser descrita explícitament en coordenades polars com:

$r(\theta )=\frac{3a\sin \theta \cos \theta }{{\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta }$

Història

La curva va ser proposta i estudiada per primera volta per René Descartes en 1638. La seua fama es deu a un incident en el desenroll del càlcul infinitesimal. Descartes va desafiar a Pierre de Fermat a trobar la recta tangente a la curva en un punt arbitrari, ya que Fermat havia descobert feya poc temps un método per a trobar rectes tangentes. Fermat va resoldre el problema fàcilment, alguna cosa que Descartes no va poder fer. Des de l'invenció del càlcul, la pendent de la recta tangente es pot trobar fàcilment usant una funció implícita.

Característiques de la curva

Equació de la tangente

Usant el método de diferenciació implícita, l'equació anterior pot resoldre's para i':

$\frac{dy}{dx}=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}$

Usant la forma punt-pendent de l'equació d'una llínea recta, pot trobar-se una equació per a la tangente de la curva en $(x_1,y_1)$:

$y-y_1=\frac{a{y}_1-x_1^2}{y_1^2-a{x}_1}(x-x_1)$

Tangentes horisontal i vertical

La llínea tangente del folium de Descartes és horisontal quan $ay-x^2=0$. Per tant, la llínea tangente és horisontal quan:

$x^6=2a^3{x}^3$

La llínea tangente del folium de Descartes és vertical quan $y^2-ax=0$. Per tant, la llínea tangente és vertical quan:

$y^6=2a^3{y}^3$

Açò pot explicar-se gràcies a una propietat de la simetria de la curva. Mirant el gràfic, pot vore's que la curva té dos tangentes horisontals i dos tangentes verticals. Aixina que, la curva del folium de Descartes és simètrica respecte a $y=x$, per lo que si una tangente horisontal té una coordinada de $(x_1,y_1)$, llavors hi ha una tangente vertical corresponent, $(y_1,x_1)$.

Asíntota

La curva té una asíntota:

$x+y+a=0$

L'asíntota té un gradient de -1 i talla els eixos de coordenades en els punts $(0,-a)$ i $(-a,0)$.

Bibliografia

• J. Dennis Lawrence: A catalog of special plane curves, 1972, Dover Publications. ISBN 0-486-60288-5, pp. 106–108
• George F. Simmons: Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics, New York 1992, McGraw-Hill, xiv,355. ISBN 0-07-057566-5; new edition 2007, The Mathematical Association of America (MAA)