Teorema de l'hexàgon de Pappus

Per a atres usos d'este terme vore Teorema de Pappus.

La teorema de Pappus establix que els punts

X, Y, Z

estan sobre una mateixa recta (la recta de Pappus). L'hexàgon és

A b C a B c

.

En matemàtiques, la teorema de l'hexàgon de Pappus (atribuït al matemàtic grec Pappus d'Aleixandria) afirma que:^[1]

La teorema és certa en espais proyectivos sobre qualsevol cos, pero no para plans proyectivos sobre anells de divisió. ^[2] Els plans proyectivos en els que se satisfà la teorema de Pappus es denominen plans pappusianos.

Archiu:Pappus-aff-ev.svg

Versió afí de la teorema de Pappus:

A b ∥ a B, B c ∥ b C \Rightarrow A c ∥ a C

(les interseccions dels parells de rectes "estan alineades" en la recta de l'infinit)

Si es restringix el pla proyectivo a un pla afí de manera que la recta de Pappus ( $u$ en el dibuix) siga la recta de l'infinit, s'obté la versió afí del mateix mostrada en el segon dibuix.

La teorema de Pappus és un cas particular del teorema de Pascal, que afirma lo mateix per a qualsevol cònica. La teorema de Pappus és el cas llímit en que la cònica degenera en un parell de rectes. A la seua volta, la teorema de Pascal és un cas particular del teorema de Cayley-Bacharach.

Pel principi de dualitat en els espais proyectivos, la teorema de Pappus induïx una atra teorema certa en geometria proyectiva: el seu dual. El dual de la teorema de Pappus enuncia que, donades tres rectes concurrente $A, B, C$ i atres tres rectes concurrente $a, b, c$ , llavors les rectes $x, y, z$ definides pels parells d'interseccions $A \cap b$ i $a \cap B$ , $A \cap c$ i $a \cap C$ , i $B \cap c$ i $b \cap C$ són concurrents (passen per un mateix punt).

És important en la construcció axiomàtica de la geometria proyectiva, ya que és una teorema purament d'incidència —no fa referència a mides—, pero es demostra usant els axioma de congruència de segments. Ademés, introduït com axioma permet demostrar totes les teoremes d'incidència coneguts sense tindre que introduir axioma mètrics. Gràcies a açò, es pot considerar la geometria proyectiva com una geometria purament d'incidència.

Demostracions

Per reducció a la versió afí

La versió afí de la teorema a la que nos referim és aquella que s'obté en prendre la recta de Pappus com la recta de l'infinit. Aixina, en este cas cal demostrar que $X, Y, Z$ són punts de l'infinit, és dir, que $A b ∥ a B, B c ∥ b C \Rightarrow A c ∥ a C$ . Si es demostra la versió afí de la teorema, llavors la versió proyectiva queda a la seua volta demostrada, puix podem recuperar la configuració proyectiva original ya que l'extensió d'un pla pappusiano a un pla proyectivo és única.

Archiu:Pappus-proof-ev.svg

Demostració de la versió afí

Pel possible paralelisme en els espais afins, fa falta distinguir dos casos: $g ∥ h$ i $g ∦ h$ . La clau de la demostració és fixar un sistema de referència adequat.

Cas 1: Les rectes

g, h

es intersecan en un punt

S = g \cap h

.

Fixem la referència afí de centre
$O = S$
i eixos
$\vec{O c}$
i
$\vec{O A}$
(lo és perque per hipòtesis
$g ∦ h$
). En esta referència, tenim que
$S = (0, 0), A = (0, 1), c = (1, 0)$
. La recta
$g$
ve donada per l'equació
$x_{1} = 0$
(la primera coordenada és nula). Per tant, i per hipòtesis de que els punts són distints entre sí, tenim que
$B = (0, γ), C = (0, δ), γ, δ \notin {0, 1}$
.

Pel paralelisme entre
$B c, b C$
tenim que
$b = (\frac{δ}{γ}, 0)$
, i pel paralelisme entre
$A b, a B$
tenim que
$a = (δ, 0)$
. Per tant, les rectes
$A c, a C$
tenen abdós pendent
$- 1$
i són paraleles.

Cas 2: Les rectes

g, h

són paraleles (no iguals).

Fixem la referència afí de centre
$O = c$
i eixos
$\vec{O b}$
i
$\vec{O A}$
(lo és perque
$g, h$
són paraleles pero no iguals). En esta referència, tenim que
$c = (0, 0), b = (1, 0), A = (0, 1), B = (γ, 1), γ \neq 0$
. Dels paralelismes entre
$A b, a B$
i entre
$B c, b C$
es deduïx que
$C = (γ + 1, 1)$
i que
$a = (γ + 1, 0)$
, i d'açò que
$A c ∥ a C$
, puix abdós tenen punts de primera coordenada constant.

Açò termina la demostració del cas afí i, completant este a l'espai proyectivo afegint la recta de l'infinit, tenim la versió proyectiva demostrada.

◻

Usant proyeccions centrals

Canviem la notació per a que ser al diagrama pel que nos anem a guiar.

Construïm les interseccions $O$ de les rectes $d$ i $d^{'}$ , $D$ de les rectes $A_{1} B_{2}$ i $A_{2} C_{1}$ i $E$ de les rectes $A_{1} C_{2}$ i $C_{1} B_{2}$ (sempre existixen en un espai proyectivo).

Considerem la proyecció central $f$ de la recta $A_{1} B_{2}$ sobre la recta $d$ de centre $A_{2}$ . Tenim les següents transformacions:

$A_{1} \overset{f}{⟼} A_{1}$
$C \overset{f}{⟼} B_{1}$
$D \overset{f}{⟼} C_{1}$
$B_{2} \overset{f}{⟼} O$

Archiu:Pappusdem.png

Demostració de la teorema

Considerem ara la proyecció central $g$ de la recta $d$ sobre la recta $B_{2} C_{1}$ de centre $C_{2}$ . Tenim les següents transformacions:

$A_{1} \overset{g}{⟼} E$
$B_{1} \overset{g}{⟼} A$
$C_{1} \overset{g}{⟼} C_{1}$
$O \overset{g}{⟼} B_{2}$

Si considerem la composició $g \circ f$ de la recta $A_{1} B_{2}$ sobre la recta $B_{2} C_{1}$ , tenim que és una proyectividad per ser-ho $f$ i $g$ i transforma els punts com seguix:

$A_{1} \overset{g \circ f}{⟼} E$
$C \overset{g \circ f}{⟼} A$
$D \overset{g \circ f}{⟼} C_{1}$
$B_{2} \overset{g \circ f}{⟼} B_{2}$

Considerem ara la proyecció central $h$ de la recta $A_{1} B_{2}$ sobre la recta $B_{2} C_{1}$ de centre $B$ . Observem que

$A_{1} \overset{h}{⟼} E$
$D \overset{h}{⟼} C_{1}$
$B_{2} \overset{h}{⟼} B_{2}$

És dir, coincidix en $g \circ f$ en tres punts (distints per hipòtesis). Sabem que una proyectividad queda unívocamente determinada per l'image d'una referència proyectiva; en el cas de rectes, de tres punts distints. Tenim puix que $h = g \circ f$ . Per tant, $C \overset{h}{⟼} A$ i, per definició, com $B$ és el centre la proyecció, tenim que $A, B, C$ estan alineats, que és lo que volíem demostrar. $◻$

Usant coordenades homogénees

Archiu:Pappus-proj-ev.svg

Teorema de Pappus

Prenem el sistema de referència

ℛ = {C, c, X; A}

, en

A

el punt unitat. Per a que siga una referència fa falta que

C, c, X

no estiguen alineats. Si lo estigueren bastaria prendre una atra referència de la mateixa forma i procedir análogamente. Calculem les coordenades (llevat producte per escalar, indicat pels corchetes) dels punts involucrats:

$C = [(1, 0, 0)], c = [(0, 1, 0)], X = [(0, 0, 1)], A = [(1, 1, 1)]$

Les rectes $g = A C$ , $A c$ i $A X$ vénen donades, respectivament, per $x_{2} = x_{3}, x_{1} = x_{3}, x_{2} = x_{1}$ . Podem prendre, per tant,

$B = [(p, 1, 1)], Y = [(1, q, 1)], b = [(1, 1, r)]$

per a certs escalares $p, q, r$ . Les rectes $X B, C Y, h = c b$ vénen donades, respectivament, per $x_{2} = x_{1} q, x_{1} = x_{3} p, x_{3} = x_{2} r$ . Per hipòtesis, són concurrents (en el punt $a$ ), i ho són si i només si $r q p = 1$ .

Análogamente, les rectes $C b, c B, X Y$ vénen donades, respectivament, per $x_{2} = x_{1} q, x_{1} = x_{3} p, x_{3} = x_{2} r$ . Lo que volem demostrar és que són concurrents (en el punt $Z$ ). La condició per a que siguen concurrents és que $r p q = 1$ . Si el producte és conmutativo (que ho és, perque en principi estem en un cos), hem acabat, perque ya hem vist que $r q p = 1$ . $◻$

Esta demostració mostra que per a que la teorema de Pappus siga cert en un espai proyectivo sobre un anell de divisió és necessari i suficient que el seu producte siga conmutativo, és dir, que siga un cos.

En geometria afí en el teorema de Menelao

Archiu:Pappus menelaus.svg

Demostració de la teorema de Pappus usant el teorema de Menelao.

La teorema de Pappus té vàries versions afins que es deduïxen de la versió proyectiva elegint distintes rectes de l'infinit. En l'espai afí, suponem, com en la versió proyectiva, que $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ i $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ són dos triplets de punts distints alineats en dos rectes distintes. Afegim com a condició que $B_{2} C_{1}$ i $C_{2} B_{1}$ són secantes en $A$ , que $A_{2} C_{1}$ i $A_{1} C_{2}$ són secantes en $B$ i que $A_{2} B_{1}$ i $A_{1} B_{2}$ són secantes en $C$ . La versió en que estes rectes són paraleles és la versió afí demostrada en el primer apartat (en la recta de Pappus en l'infinit). Per la versió proyectiva de la teorema, deduïm que $A, B, C$ estan alineats.

No obstant, afegint certes condicions, podem donar una demostració purament afí d'esta versió a partir del teorema de Menelao. Estes condicions afegides són les següents: suponem que $A_{2} B_{1}$ i $B_{2} C_{1}$ són secantes en $J_{1}$ , $B_{2} C_{1}$ i $A_{1} C_{2}$ són secantes en $L_{1}$ , i que $A_{2} B_{1}$ i $A_{1} C_{2}$ són secantes en $K_{1}$ . Si estes condicions no se satisferen —si no existira el triàngul $J_{1} L_{1} K_{1}$ (en blau)—, podríem fer una demostració anàloga en el triàngul $J_{2} K_{2} L_{2}$ (en roig) suponent la seua existència. Sense l'existència d'algun d'estos dos triànguls, la següent demostració purament afí no és vàlida.

Supongam puix que podem definir els punts $J_{1}, L_{1}, K_{1}$ i, per tant, definixen un triàngul (en blau en la figura). Observem que

La recta $A_{1} C_{1}$ interseca els tres costats del triàngul en $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ .
La recta $A_{2} C_{2}$ interseca els tres costats del triàngul en $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ .
La recta $B_{1} C_{2}$ interseca els tres costats del triàngul en $B_{1}, A, C_{2}$ .
La recta $A_{2} C_{1}$ interseca els tres costats del triàngul en $A_{2}, B, C_{1}$ .
La recta $A_{1} B_{2}$ interseca els tres costats del triàngul en $A_{1}, C, B_{2}$ .

Per la teorema de Menelao, estes alliniacions es traduïxen en les següents igualtats:

$\frac{\overline{A_{1} K_{1}}}{\overline{A_{1} L_{1}}} \times \frac{\overline{B_{1} J_{1}}}{\overline{B_{1} K_{1}}} \times \frac{\overline{C_{1} L_{1}}}{\overline{C_{1} J_{1}}} = 1$

$\frac{\overline{A_{2} J_{1}}}{\overline{A_{2} K_{1}}} \times \frac{\overline{B_{2} L_{1}}}{\overline{B_{2} J_{1}}} \times \frac{\overline{C_{2} K_{1}}}{\overline{C_{2} L_{1}}} = 1$

$\frac{\overline{B_{1} K_{1}}}{\overline{B_{1} J_{1}}} \times \frac{\overline{A J_{1}}}{\overline{A L_{1}}} \times \frac{\overline{C_{2} L_{1}}}{\overline{C_{2} K_{1}}} = 1$

$\frac{\overline{A_{2} K_{1}}}{\overline{A_{2} J_{1}}} \times \frac{\overline{B L_{1}}}{\overline{B K_{1}}} \times \frac{\overline{C_{1} J_{1}}}{\overline{C_{1} L_{1}}} = 1$

$\frac{\overline{A_{1} L_{1}}}{\overline{A_{1} K_{1}}} \times \frac{\overline{C K_{1}}}{\overline{C J_{1}}} \times \frac{\overline{B_{2} J_{1}}}{\overline{B_{2} L_{1}}} = 1$

Multiplicant estes igualtats, el membre esquerre se simplifica i queda

$\frac{\overline{A J_{1}}}{\overline{A L_{1}}} \times \frac{\overline{B L_{1}}}{\overline{B K_{1}}} \times \frac{\overline{C K_{1}}}{\overline{C J_{1}}} = 1$

lo que, pel sentit invers de la teorema de Menelao, que $A, B, C$ estan alineats, que és lo volíem demostrar. $◻$

Teorema dual

Pel principi de dualitat, el dual de la teorema de Pappus també és cert:

Daus dos punts distints $G, H$ , tres rectes $A, B, C$ concurrente en $G$ i tres rectes $a, b, c$ concurrente en $H$ , les rectes

$X : = (A \cap b) \lor (a \cap B),$

$Y : = (c \cap A) \lor (C \cap a),$

$Z : = (b \cap C) \lor (B \cap c)$

són concurrents: tenen un punt $U$ en comú.

El diagrama de l'esquerra mostra la versió proyectiva; el de la dreta, una afí, en

G, H

en l'infinit.

víncul=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Pappus-dual-proj-ev.svg%7CTeorema dual: forma proyectiva

víncul=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Pappus-dual-proj-ev.svg%7CTeorema dual: forma proyectiva
víncul=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Pappus-dual-aff-ev.svg%7CTeorema dual: forma afí

víncul=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Pappus-dual-aff-ev.svg%7CTeorema dual: forma afí

Referències

↑ Clifford A. Pickover (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, Inc., pp. 74 de 527. ISBN 9781402757969.
↑ Coxeter, pp. 236-7.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema del hexágono de Pappus» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[CAP-1] Clifford A. Pickover (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, Inc., pp. 74 de 527. ISBN 9781402757969.

[2] Coxeter, pp. 236-7.

[1]

[2]