Teorema de Menelao

Triàngul ABC tallat per la recta EDF.

La teorema de Menelao, atribuït a Menelao d'Aleixandria, és una teorema sobre triànguls en geometria plana.

Considerant els punts A, B, C, vèrtiços del triàngul ABC, i els punts D, I, F que es troben en les rectes BC, AC, AB, llavors els punts D, I, F estaran en la mateixa recta quan i solament quan:

$\frac{\overline{EA}}{\overline{EC}}\cdot \frac{\overline{DC}}{\overline{DB}}\cdot \frac{\overline{FB}}{\overline{FA}}=1$

En canvi, si s'utilisen segments dirigits, serà:

$\frac{\overline{AE}}{\overline{EC}}\cdot \frac{\overline{CD}}{\overline{DB}}\cdot \frac{\overline{BF}}{\overline{FA}}=-1$

La formulació de la teorema és molt semblada a la del teorema de Ceva: les seues equacions diferixen només en un signe. En un espai afí, els cocients anteriors es poden entendre com raons simples pero, si interpretem la teorema dins d'un espai proyectivo, les raons simples es traduïxen en raons dobles. Una volta fets estos canvis en l'enunciat, la teorema de Menelao pot vore's com el teorema dual del teorema de Ceva. És dir, en un espai proyectivo, abdós teoremes són equivalents.

Demostració

Teorema de Menelao

Usant homotecias

La següent demostració usa només nocions de la geometria afí; en particular, homotecias. Estiguen o no alineats els punts $D,E,F$, ya que estan per hipòtesis sobre els costats del triàngul $ABC$, existixen tres homotecias de centres $D,E,F$ que respectivament envien $B$ a $C$, $C$ a $A$ i $A$ a $B$. La composició de les tres és un element del grup de les homotecias i translacions que té $B$ com a punt fix. En particular, no és una translació: és una homotecia de centre $B$, possiblement de raó 1 (en el cas de la qual seria l'identitat). Observem que la composició deixa fixa la recta $DE$ si i només si $F$ està alineat en $D$ i $E$ (puix les dos primeres homotecias deixen fixa la recta $DE$ perque passa pels seus centres, i la tercera ho fa si i només si $F$ està en $DE$). Pero la composició, en ser homotecia de centre $B$, deixa fixa la recta $DE$ si i només si és l'identitat (puix $DE$ no passa per $B$). És dir, $D,E,F$ estan alineats si i només si la composició és l'identitat, i açò és equivalent a que el producte de les raons de les tres homotecias siga 1. És dir, que

$\frac{\overrightarrow{DC}}{\overrightarrow{DB}}\times \frac{\overrightarrow{EA}}{\overrightarrow{EC}}\times \frac{\overrightarrow{FB}}{\overrightarrow{FA}}=1,$

i, reorganisant els térmens, açò és la relació de raons simples de l'enunciat. $◻$

Vore també

• Teorema de Ceva
• Mijana (geometria)