Teorema de Cayley-Bacharach

Archiu:9-points theorem.png

Dos curves cúbiques planes (el grup de tres rectes roges i el grup de tres rectes blaves) es creuen en nou punts. Si una tercera cúbica (color negre) pansa per huit d'estos nou punts, necessàriament passa pel nové punt.

La teorema de Cayley-Bacharach és un declaració matemàtica en el camp de la geometria algebraica. Afirma que, en certs casos, les curves algebraiques que travessen part de les interseccions d'atres dos curves algebraiques, deuen contindre totes estes interseccions. En particular, una curva cúbica que passa a través de huit de les nou interseccions d'atres dos cúbiques, també conté l'última intersecció. Esta declaració va ser formulada i provada per primera volta per Michel Chasles. La teorema generalment du el nom d'Arthur Cayley i Isaak Bacharach, els qui varen sugerir o varen provar generalisacions del mateix.

Declaració

En la redacció de Chasles, la teorema expressa lo següent:

Si dos curves cúbiques es creuen en el pla proyectivo en nou punts diferents, cada curva cúbica que passa a través de huit d'estos punts també conté el nové.

Segons el teorema de Bézout, 9 és el número màxim possible de diferents interseccions, sempre que les dos curves no tinguen un component comú. Sobre un camp algebraicamente tancat, este número màxim sempre s'alcança si els punts són tots diferents.

Cayley va generalisar la proposició. En la versió original, no obstant, carix d'algunes condicions importants i la seua demostració també contenia varis estanys. Basant-se en els treballs d'Alexander von Brill i Max Noether, Bacharach va poder resoldre estes deficiències i va presentar una generalisació correcta en la seua conferència inaugural de 1881. En una publicació posterior, va formular la generalisació de la següent manera:

Dos curves algebraiques d'orde $d_1$ i $d_2$ es creuen en $d_1{d}_2$ punts diferents, per lo que cada curva algebraica d'orde $k$ (en $k\ge d_1$, $k\ge d_2$ i $k\le d_1+d_2-3$) passant per tots els punts d'intersecció menys $(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_1+d_2-k-1}{2})$, també passarà pel restant dels punts, a menos que estos $(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_1+d_2-k-1}{2})$ punts pertanyguen a una curva d'orde $d_1+d_2-k-3$.

Per a $d_1=d_2=k=3$ es deduïx la teorema de Chasles.

Demostració

$\Gamma$ és un conjunt de punts en l'espai proyectivo, formant aixina els polinomis de cert grau $d$ que passen per tots els punts de $\Gamma$, que formen un espai vectorial. La codimensión d'este espai vectorial en l'espai vectorial de tots els polinomis de grau $d$, indica cóm les curves algebraiques de grau $d$ queden restringides per l'elecció dels punts de $\Gamma$.

Per als punts en una posició general, s'espera que esta codimensión coincidixca en el número de punts, perque cada punt implica una condició llineal en el polinomi.

L'espai vectorial de tots els polinomis homogéneus de tres variables i de grau $d$ té la dimensió $(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+2}{2})$. En el cas de les cúbiques, en d=3, la dimensió és 10. Es denomina $\Gamma$ al conjunt de nou interseccions i ${\Gamma }^{\prime }\subset \Gamma$ a un subconjunt de 8 elements, per lo que s'espera de ${\Gamma }^{\prime }$ una codimensión de 8. Pero també per a $\Gamma$ açò dona una codimensión màxima de 8, ya que en els dos polinomis que definixen les dos cúbiques donades, ya hi ha dos polinomis linealmente independents que passen per tots els punts de $\Gamma$.

De fet, es pot demostrar que la codimensión de $\Gamma$ i de ${\Gamma }^{\prime }$ coincidix, i aixina, cada cúbica que passa per tots els punts de ${\Gamma }^{\prime }$, també passa a través de tots els punts de $\Gamma$.

Vore també

• Curva cúbica plana