Llínees concurrents

Archiu:Brianchon's Theorem.svg

Eixemple de rectes concurrents: les diagonalés d'un hexàgon en una secció cònica inscrita

En geometria, es diu que tres o més rectas en un pla o espai de dimensió superior, són concurrents si tenen intersecció en un sol punt.

Eixemples

Triànguls

En un triàngul, quatre tipos bàsics de conjunts de rectes concurrente són les altures, les bisectrices, les mijanes i les mediatrices:

• Les altures d'un triàngul es tracen des de cada vèrtiç i es troben en el costat opost formant un àngul recte. El punt a on es troben les tres altures és l'ortocentre.
• Les bisectrices són rectes que es tracen des de cada vèrtiç del triàngul i bisecan l'àngul associat. Totes es troben en l'incentro.
• Les mijanes conecten cada vèrtiç d'un triàngul al punt mig del costat opost. Les tres mijanes es troben en el centroide (també denominat baricentre).
• Les mediatrices són rectes perpendicular que ixen dels punts mijos de cada costat d'un triàngul. Les tres mediatrices es troben en el circumcentre.

Atres conjunts de rectes associades en un triàngul també són concurrents. Per eixemple:

• Qualsevol mijana, que necessàriament és un bisector de l'àrea d'un triàngul, és concurrent en atres dos rectes que lo bisecan, cada una de les quals és paralela a un costat del triàngul.
• Una cuchilla d'un triàngul és un segment de recta que biseca el perímetro del triàngul i té un punt final en el punt mig d'un dels tres costats. Les tres cuchilles coincidixen en el centre de la circumferència de Spieker, que és l'incírculo del triàngul medial.
• Una divisòria d'un triàngul és un segment de recta que té un punt final en un dels tres vèrtiços del triàngul i dividix el seu perímetro en dos parts iguals. Les tres divisòries coincidixen en el punt de Nagel del triàngul.
• Qualsevol recta a través d'un triàngul que dividix l'àrea del triàngul i el seu perímetro per la mitat, pansa pel incentro del triàngul, i cada triàngul té una, dos o tres d'estes rectes. Aixina, si hi ha tres d'elles, concorren en el incentro.
• El punt de Tarry d'un triàngul és el punt de concurrència de les rectes a través dels vèrtiços del triàngul perpendicular als costats corresponents del primer triàngul de Brocard del primer triàngul.
• El punt de Schiffler d'un triàngul és el punt de coincidència de les rectes de Euler de quatre triànguls: el triàngul en qüestió, i els tres triànguls que compartixen dos vèrtiços en ell i tenen el seu incentro com l'atre vèrtiç.
• Els punts de Napoleón i les seues generalisacions, són punts de concurrència. Per eixemple, el primer punt de Napoleón és el punt de concurrència de les tres rectes, cada una des d'un vèrtiç fins al centroide del triàngul equilátero dibuixat en l'exterior del costat opost al vèrtiç. Una generalisació d'esta noció és el punt de Jacobi.
• El punt de Longchamps és el punt de concurrència de vàries rectes en la recta de Euler.
• Tres rectes, cada una formada dibuixant un triàngul equilátero extern en un dels costats d'un triàngul donat i conectant el nou vèrtiç al vèrtiç opost del triàngul original, són concurrents en un punt cridat primer centre isogonal. En el cas en que el triàngul original no tinga un àngul major de 120°, este punt també és el punt de Fermat.

• El punt de Apolonio és el punt de concurrència de tres rectes, cada una de les quals conecta un punt de tangència del círcul al com les circumferències exinscritas del triàngul són tangentes internament, al vèrtiç opost del triàngul.

Quadrilàters

• Les dos bimedianas d'un quadrilàter (segments que unixen punts mijos de costats oposts) i el segment de recta que unix els punts mijos de les diagonals són concurrents i estan tots bisecados pel seu punt d'intersecció.
• En un quadrilàter circumscrit, les quatre bisectrices concorren en el centre de la circumferència inscrita.
• Atres concurrència d'un quadrilàter tangencial es donen en l'artícul quadrilàter circumscrit.
• En un quadrilàter cíclico, quatre segments de recta, cada u perpendicular a un costat i que passen pel punt mig del costat opost, són concurrents. X Estos segments de recta es diuen malturas,, que és una abreviatura de altura del punt mig. El seu punt comú es diu el "anticentro".
• Un quadrilàter convexo és extratangencial si i solament si posseïx sis bisectrices concurrents: les bisectrices de dos ànguls interns de vèrtiços oposts; les bisectrices d'ànguls externs en els atres dos vèrtiços; i les bisectrices d'ànguls externs en els ànguls formats a on les extensions de costats oposts es creuen.

Hexàgons

• Si els costats successius d'un hexàgon cíclico són "a", "b", "c", "d", "i", "f", llavors les tres diagonals principals coincidixen en un sol punt si i solament si ace = bdf.
• Si un hexàgon té una secció cònica inscrita, llavors pel teorema de Brianchon les seues diagonalés principals són concurrents (com en l'image de dalt).
• Les rectes concurrente sorgixen en el dual del teorema de l'hexàgon de Pappus.
• Per a cada costat d'un hexàgon cíclico, estenguen-se els costats adjacents a la seua intersecció, formant un triàngul exterior al costat donat. Llavors els segments que conecten els circumcentres de triànguls oposts són concurrents.

Polígons regulars

• Si un polígon regular té un número par de costats, les diagonalés que conecten vèrtiços oposts són concurrents en el centre del polígon.

Círculs

• Les mediatrices de totes les cuerdo d'una circumferència, són concurrents en el centre de la circumferència.
• Les rectes perpendicular a les tangentes a una circumferència en els punts de tangència, són concurrents en el centre.
• Tots els bisectores del àrea i del perímetro d'un círcul són diàmetros, i són concurrents en el centre del círcul.

Elipses

• Totes els bisectores de l'àrea i del perímetro d'una elipse, són concurrents en el centre de la elipse.

Hipérboles

• En una hipérbola, les següents llínees són concurrents: (1) una circumferència que passa pels focs de l'hipérbola i en centre en el centre de l'hipérbola; (2) qualsevol de les rectes que són tangentes a l'hipérbola en els vèrtiços; i (3) qualsevol de les asíntotes de l'hipérbola.
• Les llínees següents són també concurrents: (1) la circumferència que està centrada en el centre de l'hipérbola i que passa a través dels vèrtiços de l'hipérbola; (2) ya siga la directriu; i (3) qualsevol de les asíntotes.

Tetraedres

• En un tetraedre, les quatre mijanes i tres bimedianas són totes concurrente en un punt cridat centroide del tetraedre.
• Un tetraedre isodinámico és aquell en el que les cevianas que unixen els vèrtiços en els incentros de les cares opostes són concurrents, i un tetraedre isogónico posseïx cevianas concurrente que unixen els vèrtiços en els punts de contacte de les cares opostes en l'esfera inscrita del tetraedre.
• En un tetraedre ortocéntrico, les quatre altures són concurrents.

Àlgebra

Vore també: Concurrència

D'acort en el teorema de Rouché–Frobenius, un sistema d'equacions és consistent si i solament si el ranc del coeficient de la matriu és igual al ranc de la matriu aumentada (la matriu de coeficients aumentada en una columna de térmens de intercepción), i el sistema té una única solució si i solament si eixe ranc comú és igual al número de variables. Aixina, en dos variables, les k rectes en el pla, associades en un conjunt de k equacions, són concurrents si i solament si el ranc de la matriu de coeficients k × 2 i el ranc de la matriu aumentada k × 3 són abdós 2. En eixe cas, solament dos de les equacions k són independentes, i el punt de concurrència es pot trobar resolent dos equacions mútuament independents simultàneament per a les dos variables.