Teorema de Rouché–Frobenius

En àlgebra llineal, la teorema de Rouché-Frobenius permet calcular el número de solucions d'un sistema d'equacions llineals en funció del ranc de la matriu de coeficients, del ranc de la matriu ampliada associada al sistema i del número d'incògnites que posseïxca el sistema.

Du el nom del matemàtic francés Eugène Rouché (qui ho va enunciar), i del matemàtic alemà Ferdinand Georg Frobenius (qui va anar un dels molts matemàtics que ho varen demostrar). Aixina, en atres idiomes^[1] rep atres noms, com la teorema de Rouché-Capelli, la teorema de Rouché-Fontené, la teorema de Kronecker-Capelli, etc.

La teorema establix que per a que un sistema d'equacions llineals siga compatible és condició necessària i suficient que la matriu formada pels coeficients i la matriu ampliada pels térmens independents posseïxquen el mateix ranc. Per lo demés, el sistema constituït serà determinat si el seu ranc coincidix en el número d'incògnitas o serà indeterminat si posseïx un valor menor a tal número.

Enunciat

Un sistema llineal d'equacions:

{\begin{matrix} a_{1, 1} x_{1} + a_{1, 2} x_{2} + \dots + a_{1, n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{2, 1} x_{1} + a_{2, 2} x_{2} + \dots + a_{2, n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m, 1} x_{1} + a_{m, 2} x_{2} + \dots + a_{m, n} x_{n} & = & b_{m} \end{matrix}

Pot ser descrit per mig d'una matriu:

(A | b) = (\begin{matrix} a_{1, 1} & \dots & a_{1, n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m, 1} & \dots & a_{m, n} \end{matrix} | \begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})

dita matriu associada al sistema ; està obtinguda per la yuxtaposició de la matriu

A = (\begin{matrix} a_{1, 1} & \dots & a_{1, n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m, 1} & \dots & a_{m, n} \end{matrix})

dels coeficients i una posterior columna

b = (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})

cridada columna de térmens notoris. Les matrius $A$ i $(A | b)$ són cridades respectivament incompleta (o dels coeficients) i completa (o ampliada).

Els coeficients dels sistemes llineals (i per això de les matrius) són elements d'un cos $𝕂$ , com podrien ser els número real $ℝ$ o complexos $ℂ$ . Indicant-se en $rg (M)$ el ranc d'una matriu $M$ . L'enunciat de la teorema de Rouché-Frobenius és el següent:

Existixen solucions per al sistema si i solament si el ranc de la matriu completa és igual al ranc de la matriu incompleta.

Llavors, si existixen solucions, estes formen una varietat llineal de $𝕂^{n}$ de dimensions $n - rg (A)$ . En particular, si el cos $𝕂$ és infinit tenim:

si $rg (A) = n$ llavors la solució és única,
d'un atre modo existixen infinites possibles solucions.

Demostració

Existència

El sistema pot ser descrit d'un modo més restringit, introduint el vector de les coordenades

x = (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})

i utilisant el producte matricial, del següent modo:

A x = b

En atres térmens, $b$ és l'image del vector $x$ per mig de l'aplicació llineal

L_{A} : 𝕂^{n} \to 𝕂^{m}

L_{A} (x) = A x

Llavors el sistema admet solucions si i solament si $b$ és l'image d'algun vector $x$ de $𝕂^{n}$ , en atres térmens si està en l'image de $L_{A}$ . Per un atre costat, l'image de $L_{A}$ és generada des dels vectores donats a partir de les columnes $A$ . Llavors $b$ és en l'image si i solament si el span de les columnes $A$ conté $b$ , açò és, si i només si el span de les columnes $A$ és igual al span de les columnes de $(A | b)$ . Esta última afirmació és equivalent a demanar que les dos matrius posseïxquen el mateix ranc.

Varietat llineal

Observem que, si existix una solució $x$ , tota una atra solució s'escriu com $x + v$ , a on $v$ és una solució del sistema llineal homogéneu associat:

A v = 0

En efecte:

A (x + v) = A x + A v = b + 0 = b \forall v

solució del sistema llineal homogéneu associat.

Les solucions del sistema llineal homogéneu associat són simplement el núcleu de l'aplicació $L_{A}$ , que és un subespacio vectorial. Pel teorema ranc-nulitat, la dimensió del núcleu de $L_{A}$ és $n - rg (A)$ . S'ha utilisat ací que la dimensió de l'image de $L_{A}$ és el ranc de $A$ . Es pot vore la demostració d'açò en l'artícul sobre el ranc.

Llavors l'espai de les solucions, obtingut traslladant el núcleu en el vector $x$ , és un varietat llineal de la forma $x + Ker (L_{A})$ . En particular, la dimensió d'esta varietat és $dim Ker (L_{A}) = n - rg (A)$ , com volíem demostrar.

Açò nos permet afirmar que si el cos $𝕂$ és infinit, llavors

Si $rg (A) = n$ , tenim que $dim Ker (L_{A}) = n - rg (A) = 0 \Rightarrow Ker (L_{A}) = {0}$ , per lo que $x + Ker (A) = x + {0} = {x}$ , és dir, l'única solució és $x$ .
Si $rg (A) \neq n \Rightarrow rg (A) \leq n - 1 \Rightarrow dim Ker (L_{A}) = n - rg (A) \geq 1$ , per lo que la varietat de solucions $x + Ker (L_{A})$ és per lo manco una recta, que en un cos infinit té infinits punts, és dir, hi ha infinites solucions. $◻$