Matriu aumentada

En àlgebra llineal, la matriu aumentada, o matriu ampliada, d'una matriu s'obté en combinar dos matrius tal i com es mostra a continuació.

Siguen les matrius $A$ i $B$, a on

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 0& 1\\ 5& 2& 2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}4\\ 3\\ 1\end{array}\right]$

Llavors la matriu aumentada $(A|B)$ es representa de la següent manera:

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 4\\ 2& 0& 1& 3\\ 5& 2& 2& 1\end{array}\right]$

Esta notació és útil per a resoldre sistemes d'equacions llineals donats per matrius quadrades. També es pot utilisar per a trobar l'inversa d'una matriu.

Eixemples

Siga $C$ una matriu quadrada de dimensions 2x2 a on $C=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ -5& 0\end{array}\right]$

Per a trobar l'inversa de $C$, es crea $(C|I)$, a on $I$ és la matriu identitat de dimensions 2x2. A continuació es transforma en la matriu identitat la part de $(C|I)$ corresponent a $C$, usant únicament transformacions de matriu elementals en $(C|I)$.

$(C|I)=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\\ -5& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$(I|C^{-1})=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{1}{5}\\ 0& 1& \frac{1}{3}& \frac{1}{15}\end{array}\right]$

En àlgebra llineal, s'utilisa la matriu aumentada per a representar els coeficients aixina com les constants de cada equació. Donat el conjunt d'equacions:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+2x_2+3x_3=0\\ 3x_1+4x_2+7x_3=2\\ 6x_1+5x_2+9x_3=11\end{array}$

la matriu aumentada estaria formada per:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 4& 7\\ 6& 5& 9\end{array}\right]$

i

$B=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 11\end{array}\right]$

donant com a resultat final:

$C=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 0\\ 3& 4& 7& 2\\ 6& 5& 9& 11\end{array}\right]$