Bisectriz

Construcció gràfica en regla i compàs.

La bisectriz d'un àngul és la semirrecta en orige en el vèrtiç de l'àngul tal que ho dividixca en dos ànguls d'igual mida. És una recta si es considera com el lloc geomètric dels punts del pla que equidistan, és dir, estan a la mateixa distància dels costats de l'àngul bisecado.

Propietats

La bisectriz és l'eix de simetria de l'àngul Els punts de la bisectriz són equidistants als dos costats de l'àngul

Observació

• Dos rectes, al intersecarse, determinen quatre ànguls consecutius i els seus bisectrices, que passen pel punt d'intersecció, formen quatre ànguls rectes consecutius .

En la figura, la bisectriz de l'àngul xOy (en groc) és (z'), i la de l'àngul x'Oy és (w'). Es tallen formant un àngul recte. En efecte, si cridem a l'amplitut de xOz, i b la de yOw, observem que 2a + 2b és l'amplitut de l'àngul xOx' = 180°, és un àngul pla. Després zOw medix a + b = 90°.

Bisectrices en el triàngul

En un triàngul isósceles l'eix de simetria conté una bisectriz, una mijana, una altura i una mediatriz. En un triàngul equilátero cada eix de simetria conté un bisectriz, una mijana, una altura i una mediatriz.

Archiu:Bisectriz.gif

Bisectriz com a lloc geomètric dels centre de les circumferències tangentes als costats de l'àngul.

Les tres bisectrices dels ànguls interns d'un triàngul es tallen en un únic punt, que equidista dels costats. Este punt es diu l'incentro del triàngul i és el centre de la circumferència inscrita al triàngul. Esta circumferència és tangente a cada u dels costats del triàngul.

Archiu:Bisectrices.png

Relació mètrica

• ab = mn + d², sent m, n els segments que determina la bisectriz interna d, sobre el costat c = m+n

Llongitut

1. Per a bisectriz interior $l_A=\frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$ sent $p=\frac{a+b+c}{2}$ el semiperímetro.

2. Bisectriz interior de l'àngul A: $l_A=\frac{\sqrt{bc[(b+c{)}^2-a^2]}}{b+c}$, en funció dels tres costats a,b i c.

3. Per a la bisectriz exterior $l_A^e=\frac{2}{b-c}\sqrt{bc(p-b)(p-c)}$.

Per a la bisectriz dels atres ànguls se seguix el patró del cas donat, contraponent els atres elements, de manera cíclica.

Equacions de les bisectrices

En el pla cartesiano

Siguen la rectes

1. R_1 l'equació normal de la qual és xcosμ + i senμ = p
2. R_2 sent la seua equació normal xcosω + i senω = q

En tal case la equació cartesiana en el pla de les rectes bisectrices, es troben sumant i restant les equacions de L_1 i L_2

Eixemple

Sean

R_1: 4x+3i -8 = 0; normalisant $\frac{4}{5}x+\frac{3}{5}y=\frac{8}{5}$

R_2: 3x -4i +12 = 0, l'equació normal de la qual és $\frac{3}{5}x-\frac{4}{5}y=-\frac{12}{5}$

Sumant les equacions : $\frac{7}{5}x-\frac{1}{5}y=-\frac{4}{5}$, equació de la recta bisectriz L_1

Restant les equacions : $\frac{1}{5}x+\frac{7}{5}y=\frac{20}{5}$ equació de la bisectriz L_2

En l'espai Iⁿ

Siguen les equacions vectorials.

R_1 M + αo, a on o és vector unitari director, α recorre ℝ, M punt de Rⁿ està de la recta L_1

R_2 N+ βv, sent v un vector director unitari, β qualsevol número real, N punt de Rⁿ està de la recta L_2

Llavors les equacions vectorials de les rectes bisectrices de les rectes L_1 i L_2, que es tallen en el punt H són:

L_1: $H+\frac{1}{2}(u+v)$

L-2: $H+\frac{1}{2}(u-v)$

Vore també

• Teorema de la bisectriz
• Mijana