Teorema de la bisectriz

En este diagrama, sent A l'àngul bisecado, $\frac{BA}{AC}=\frac{BD}{DC}$

La teorema de la bisectriz del àngul “x” d'un triàngul és un teorema de la geometria elemental la qual és una conseqüència o corolari del Teorema de Tals.

O lo que és equivalent:

Història

La teorema de la bisectriz de l'àngul apareix en els Elements de Euclides:

Si un àngul d'un triàngul esta dividit en dos parts iguals, i la recta que talla l'àngul talla la base, els segments de la base tindran la mateixa raó que els costats restants d'este triàngul. I si els segments de la base tenen la mateixa raó que els atres costats del triàngul, la recta que passa pel vèrtiç a la secció i el vèrtiç opost, dividirà l'àngul del triàngul en dos parts iguals.

Euclides. Els Elements, llibre VI, proposició 3.

Segons Heath (1956), la declaració corresponent per a una bisectriz d'àngul extern va ser donada per Robert Simson qui va afirmar que Pappus va assumir este resultat sense proves. Heath continua dient que Augustus De Morgan va propondre que les dos afirmacions es combinaren de la següent manera:

Si un àngul d'un triàngul és bisecado internament o externament per una llínea recta que talla el costat opost o el costat opost produït, els segments d'eixe costat tindran la mateixa proporció que els atres costats del triàngul. I, si un costat d'un triàngul es dividix internament o externament de tal modo que els seus segments tinguen la mateixa relació que els atres costats del triàngul, la llínea recta traçada des del punt de secció fins al punt angular opost al primer costat mencionat bisecará l'àngul interior o exterior en eixe punt angular.