Circumferència inscrita i exinscrita en un triàngul

En geometria, la circumferència inscrita o círcul inscrit d'un triàngul és el círcul més gran contingut en el triàngul; toca (és tangente a) els tres costats. El centre de la circumferència inscrita es diu incentro del triàngul.

Triàngul (negre) en circumferència inscrita (blava), incentro (I), circumferència exinscrita (taronja), excentros (J_A,J_B,J_C), bisectrices dels ànguls interns (roig) i bisectrices dels ànguls exteriors (vert)

Una circumferència exinscrita o círcul exinscrito del triàngul és un círcul exterior al triàngul, tangente a un dels seus costats i tangente a l'extensió dels atres dos costats. Cada triàngul té tres circumferències exinscritas distintes, cada una tangente a un dels costats del triàngul.

El centre de la circumferència inscrita, cridat incentro, pot ser trobat en l'intersecció de les tres bisectrices dels ànguls interns. El centre d'una circumferència exinscrita és l'intersecció de la bisectriz d'un àngul intern (de vèrtiç A, per eixemple) i les bisectrices dels atres dos ànguls exteriors. El centre d'eixa circumferència es diu excentro relatiu al vèrtiç A, o excentro de A. Degut a que la bisectriz interior d'un àngul és perpendicular a la bisectriz de l'àngul exterior, es deduïx que el centre de la circumferència inscrita junt en els tres excentros formen un Sistema ortocéntrico.

No tots els polígons en més de tres costats tenen circumferències inscrites tangentes a tots els seus costats; estos es diuen polígons tangencials. Vegen-se també les rectes tangentes la circumferència.

Relació en l'àrea del triàngul

Els radis de les circumferències inscrites i exinscritas estan estretament relacionats en l'àrea del triàngul.

Circumferència inscrita

Supongam que $\mathrm{△}ABC$ té una circumferència inscrita en ràdio r i centre I. Siga a la llongitut de BC, b la llongitut de AC, i c la llongitut de AB. Ara, la circumferència inscrita és tangente a AB en algun punt C′, i aixina $\mathrm{\angle }A{C}^{\prime }I$ és recte. Per tant el radi C'I és l'altura de el $\mathrm{△}IAB$. Per lo tant $\mathrm{△}IAB$ té una base de medida c , una altura de medida r, i aixina l'àrea és $\frac{1}{2}cr$. De la mateixa manera, $\mathrm{△}IAC$ té àrea $\frac{1}{2}br$ i $\mathrm{△}IBC$ té àrea $\frac{1}{2}ar$. Ya que estos tres triànguls componen a el $\mathrm{△}ABC$, veem que :$\Delta =\frac{1}{2}(a+b+c)r=sr,$ i $r=\frac{\Delta }{s},$

A on $\Delta$ és l'àrea de $\mathrm{△}ABC$ i $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ és la seua semi perímetro.

Per a una fòrmula alternativa, es pot considerar $\mathrm{△}I{C}^{\prime }A$. Est és un triàngul rectàngul en un cateto igual a r i un atre cateto igual a $r\cot \frac{\mathrm{\angle }A}{2}$. Lo mateix és cert per a $\mathrm{△}I{B}^{\prime }A$. El triàngul gran es compon per 6 triànguls i el total de la seua àrea és:$\Delta =r^2\cdot (\cot \frac{\mathrm{\angle }A}{2}+\cot \frac{\mathrm{\angle }B}{2}+\cot \frac{\mathrm{\angle }C}{2})$

Circumferència exinscrita

Els radis de les circumferències exinscritas són cridats exradios. La circumferència exinscrita al costat AB toca al costat AC estés en G, i el radi d'esta circumferència exisncrita és $r_c$ i el seu centre és $I_c$. Llavors, $I_{c}G$ és l'altura de $\mathrm{△}AC{I}_c$, i aixina $\mathrm{△}AC{I}_c$ té àrea $\frac{1}{2}b{r}_c$. Per un argument similar, $\mathrm{△}BC{I}_c$ té àrea $\frac{1}{2}a{r}_c$ i $\mathrm{△}AB{I}_c$ té àrea $\frac{1}{2}c{r}_c$. Per tant: $\Delta =\frac{1}{2}(a+b-c)r_c=(s-c)r_c$. Aixina, per simetria, :$\Delta =sr=(s-a)r_a=(s-b)r_b=(s-c)r_c$. Pel teorema del coseno, es té que: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Combinant açò en l'identitat ${\mathrm{sen}}^{2}A+{\cos }^{2}A=1$, es té que: $\mathrm{sen}A=\frac{\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2{b}^2+2b^2{c}^2+2a^2{c}^2}}{2bc}$

Pero $\Delta =\frac{1}{2}bc\mathrm{sen}A$, i aixina: $\begin{array}{cc}\Delta & =\frac{1}{4}\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2{b}^2+2b^2{c}^2+2a^2{c}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\end{array}$

Esta és la fòrmula de Herón.

Combinant açò en $sr=\Delta$, es té que :$r^2=\frac{{\Delta }^2}{s^2}=\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}.$

De la mateixa manera, $(s-a)r_a=\Delta$ dona: $r_a^2=\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}$ i :$r_a=\sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}.$

A partir d'estes fòrmules es pot vore que les circumferències exisncritas són sempre més grans que les circumferències inscrites i la circumferència exinscrita més gran és la que és tangente el costat més llarc i la més chicoteta és la tangente al costat més curt. És més, combinant estes fòrmules:$\Delta =\sqrt{r{r}_a{r}_b{r}_c}.$

La relació de l'àrea de la circumferència inscrita a l'àrea del triàngul és menor o igual a $\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$, en l'igualtat solament per al triàngul equilátero.

Construccions relacionades

Circumferència dels nou punts i el punt de Feuerbach

La circumferència tangente a les tres circumferències exinscritas i a la circumferència inscrita és conegut com circumferència dels nou punts. El punt a on el círcul de nou punts toca la circumferència inscrita és conegut com el punt de Feuerbach.

Triàngul i punt de Gergonne

Triàngul ΔABC, en circumferència inscrita (blava), incentro (blava, I), triàngul de contacte (roig, ΔT_aT_bT_c) i punt Gergonne (vert, Ge)

El triàngul de Gergonne (de ABC) està definit pels 3 punts de contacte de la circumferència inscrita en els 3 costats.

El punt de contacte opost al vèrtiç As denota T_A, etc.

Este triàngul de Gergonne T_AT_BT_C també es coneix com a triàngul de contacte o triàngul en contacte en ABC. Aixina mateix, és el triàngul podal respecte a ABC generat des del seu propi incentro.

Els tres segments AT_A, BT_B i CT_C es intersecan en un sol punt cridat punt de Gergonne, anotat com Ge - X(7). El punt de Gergonne es troba en l'interior del círcul ortocentroidal, i pot ser qualsevol dels seus punts.

Curiosament, el punt de Gergonne del triàngul és el punt simediano del triàngul de Gergonne. Per a un conjunt complet de propietats del punt de Gergonne, vore.

Les coordenades trilineales per als vèrtiços a on el triàngul està en contacte vénen donades per:

• $\text{vértice}A=0:{\sec }^2\left(\frac{B}{2}\right):{\sec }^2\left(\frac{C}{2}\right)$

• $\text{vértice}B={\sec }^2\left(\frac{A}{2}\right):0:{\sec }^2\left(\frac{C}{2}\right)$
• $\text{vértice}C={\sec }^2\left(\frac{A}{2}\right):{\sec }^2\left(\frac{B}{2}\right):0$

Les coordenades trilineales per al punt de Gergonne estan donades per:

${\sec }^2\left(\frac{A}{2}\right):{\sec }^2\left(\frac{B}{2}\right):{\sec }^2\left(\frac{C}{2}\right)$, o, equivalentement, pel Teorema del sen,

$\frac{bc}{b+c-a}:\frac{ca}{c+a-b}:\frac{ab}{a+b-c}$.

Triàngul i punt de Nagel

Artícul principal → Punt de Nagel.

El triàngul de Nagel de ABC és notat pels vèrtiços X_A, X_B i X_C que són els tres punts a on cada circumferència exinscrita toca al triàngul de referència ABC i a on X_A és l'opost al vèrtiç A, etc. Este triàngul X_AX_BX_C es coneix com el triàngul explícit de ABC. La circumferència circumscrita del triàngul explícit X_AX_BX_C és cridada círcul de Mandart. Els tres segments AX_A, BX_B i CX_C es denominen divisores del triàngul; cada u d'ells biseca el perímetro del triàngul, i els tres es intersecan en un sol punt, el Punt de Nagel del triàngulNa - X(8).

Les coordenades trilineales dels vèrtiços del triàngul explícit estan donades per:

• $\text{vértice}A=0:{\csc }^2\left(\frac{B}{2}\right):{\csc }^2\left(\frac{C}{2}\right)$
• $\text{vértice}B={\csc }^2\left(\frac{A}{2}\right):0:{\csc }^2\left(\frac{C}{2}\right)$
• $\text{vértice}C={\csc }^2\left(\frac{A}{2}\right):{\csc }^2\left(\frac{B}{2}\right):0$

Les coordenades trilineales del punt de Nagel estan donades per:

${\csc }^2\left(\frac{A}{2}\right):{\csc }^2\left(\frac{B}{2}\right):{\csc }^2\left(\frac{C}{2}\right)$,

o, equivalentemente a, segons el teorema del sen,

$\frac{b+c-a}{a}:\frac{c+a-b}{b}:\frac{a+b-c}{c}$.

Açò és el conjugat isotómico del punt de Gergonne.