Quadrilàter

En geometria del pla euclídeo, un quadrilàter és un polígon en quatre arestes i quatre vèrtiços o també de forma coloquial, en quatre costats i quatre cantons. A voltes s'usa el terme quadràngul per analogia en triàngul, de la mateixa manera que tetrágono per consistència en pentàgon que té cinc costats, hexàgon que té sis costats i, en general, en els polígons de n costats (en este cas, en n=4 costats).

La paraula quadrilàter es deriva de les paraules llatines "quadri", una variant de quatre i "latus", que significa "costat".

Els quadrilàters són polígons simples (no autointersecantes) o complexos (autointersecantes), també cridats creuats. Els quadrilàters simples també poden classificar-se com convexos o cóncaus.

Els ànguls interiors d'un quadrilàter simple (i pla) ABCD, sumen 360 graus, és dir

$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C+\mathrm{\angle }D=360^{\circ }.$

És un cas especial de la fòrmula de la suma dels ànguls interiors un n-gono, el valor de la qual és (n-2)×180°.

Tots els quadrilàters els costats dels quals no es creuen entre sí, automàticament recobrixen el pla per mig de la rotació repetida al voltant dels punts mijos dels seus costats.

A continuació, un model interactiu que explora estes propietats d'un quadrilàter. Plantilla:Hiruwiki

Elements d'un quadrilàter

Els elements d'un quadrilàter són els següents:

• Quatre vèrtiços: punts d'intersecció dels costats que conformen el quadrilàter.
• Quatre costats: segments que unixen els vèrtiços contigus.
• Dos diagonalés: segments els extrems dels quals són dos vèrtiços no contigus.
• Quatre ànguls interiors: el determinat per dos costats contigus.
• Quatre ànguls exteriors: el determinat per la prolongació d'un dels costats sobre un vèrtiç i el contigu en el mateix vèrtiç.

Proposicions generals

Archiu:Cuadrilátero 07.svg

Nomenclatura dels elements d'un quadrilàter

• Els quadrilàters tenen dos diagonalés.
• Les diagonals d'un quadrilàter es tallen en un punt interior, si i solament si este és convexo.
• Posseïxen quatre ànguls.
• La suma de les mides dels ànguls d'un quadrilàter $ABCD$ convexo és 360° o 2π radianes.

$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C+\mathrm{\angle }D=360^{\circ }$

• Si un quadrilàter està inscrit en una circumferència la suma de la mida dels seus ànguls oposts és igual a 180°.
• Siga ABCD un quadrilàter inscrit en una circumferència de diàmetro $AB$, llavors les proyeccions dels costats AD i BC sobre la recta CD són iguals.
• Si s'unixen en quatre segments els punts mijos de tots els costats d'un quadrilàter, llavors dits segments formen un paralelogramo.

Si un quadrilàter està circumscrit llavors la suma dels seus costats oposts són iguals. $AB+CD=BC+DA$. Per a un quadrilàter convexo es complix $a^2+b^2+c^2+d^2=d_1^2+d_2^2+4m^2$ a on $a,b,c,d$ són els costats; $d_1,d_2$,les diagonals i m, la llongitut del segment que unix els punts mijos de les diagonals.

• També es verifica: $d_1^2+d_2^2=m_1^2+m_2^2$ a on $d_1,d_2$ són les diagonals i $m_1,m_2$ són els segments, que unixen els punts mijos de costats oposts, cridats simedianas.

Classificació

Archiu:Caps block 6 caps block 7 caps block 8 .png

Tipos de Paralelogramos

Archiu:Deltoid.svg

Deltoides

Els quadrilàters es classifiquen segons el paralelisme dels seus costats, les seues llongituts i els seus ànguls interiors:

• Paralelogramo: els seus costats oposts són paralels.
  • Quadrat: tots els seus costats són iguals, tots els seus ànguls interiors són rectes, les seues diagonals són iguals i perpendicular entre sí, té una circumferència inscrites i una atra circumscrita, ademés tots els quadrats són semblants entre sí .

• • Rombo: tots els seus costats són iguals, cada parell d'ànguls aguts i obtusos són oposts, les seues diagonals són distintes i perpendicular entre sí, són bisectrices, té una circumferència inscrita.
  • Rectàngul: els seus costats oposts són iguals dos a dos i els paralels, tots els seus ànguls interiors són rectes, les seues dos diagonals són iguals pero no són perpendiculars entre sí i té una circumferència circumscrita.
  • Romboide: els seus costats oposts són iguals dos a dos, cada parell d'ànguls aguts i obtusos són oposts, les seues dos diagonals són de distinta llongitut i no són perpendiculars entre sí.
• Trapezi: En geometria, es diu trapezi a un quadrilàter que té dos costats no consecutius paralels cridats bases del trapezi, i el segment perpendicular entre les dos bases i la seua pròpia llongitut són cridades altura del trapezi
• Trapezoide: En geometria euclídea plana, un trapezoide és un quadrilàter convexo sense costats paralels.

Nomenclatura dels quadrilàters

En el gràfic ilustrativo de la taxonomia dels quadrilàters es passa de les definicions més generals a les més específiques seguint el sentit de les fleches.

Aixina es partix d'un quadrilàter definit com un polígon tancat de quatre costats, sense més restriccions, per a diferenciar a continuació els quadrilàters composts dels simples.

En un quadrilàter complex, dos dels seus costats es tallen. En un simple els costats no es creuen.

Els quadrilàters simples es dividixen en:

• Cóncaus. En un quadrilàter cóncau a lo manco un dels seus ànguls interiors medix més de 180°.
• Convexos. Un quadrilàter convexo no té ànguls interiors que medixquen més de 180°. El quadrilàter convexo general seria el trapezoide. Els convexos es subdividen en:

1. Quadrilàter cíclico, si es pot traçar una circumferència que passe pels seus vèrtiços.
2. Quadrilàter tangencial, si es pot traçar una circumferència tangente a cada u dels seus costats.
3. Trapezis, si tenen dos costats paralels. Es diferencien:
   1. Romboide, com a cas més general de paralelogramo, si els costats són paralels dos a dos.
   2. Trapezi rectàngul, que té un costat perpendicular als seus bases.
   3. Trapezi isósceles, els costats del qual no paralels són d'igual mida. Este trapezi també és cíclico.

A un quadrilàter que al mateix temps siga cíclico i tangencial se li denomina quadrilàter bicéntrico. El deltoide és tangencial en dos parells de costats iguals.

Un cas particular de trapezi isósceles és quan la llongitut d'una de les bases és igual que la dels seus costats, per la qual cosa es configura un trapezi de tres costats iguals.

Quadrilàters simples

Archiu:Euler diagram of quadrilateral types es.svg

Diagrama de Euler de diversos tipos de quadrilàters simples

Qualsevol quadrilàter que no es autointerseca és un quadrilàter simple.

Quadrilàters convexos

En un quadrilàter convexo, tots els ànguls interiors són inferiors a 180° i les dos diagonals es troben dins del quadrilàter. Trapezoide o quadrilàter irregular: cap dels seus costats són paralels entre sí

• Trapezi: A lo manco un parell de costats oposts són paralels. Els trapezis inclouen als paralelogramos.

• Trapezi isósceles: Un parell de costats oposts són paralels i els ànguls de cada base són iguals entre sí. Atres definicions alternatives són: un quadrilàter en un eix de simetria que dividix un parell de costats oposts; o un trapezi en diagonals d'igual llongitut.
• Paralelogramo: Un quadrilàter en dos parells de costats paralels. Condicions equivalents són que els costats oposts siguen d'igual llongitut; que els ànguls oposts siguen iguals; o que les diagonals es bisequen entre sí (és dir, es tallen en els seus punts mijos). Al conjunt dels paralelogramos pertanyen els rombos (inclosos els que tenen els seus ànguls rectes, és dir, els quadrats) i els romboides (inclosos els que tenen els seus ànguls rectes, els rectànguls). En atres paraules, els paralelogramos inclouen tots els romboides i tots els rombos, i per lo tant també inclouen tots els rectànguls i tots els quadrats.
• Rombo: Els seus quatre costats tenen la mateixa llongitut. Una condició equivalent és que les diagonals es bisecan perpendicularment entre sí. Informalmente: "un quadrat cizallado" (pero estrictament, incloent un quadrat també).
• Romboide: Un paralelogramo en el que els costats adjacents tenen llongituts distintes i alguns dels seus ànguls són oblicuos (equivalentement, sense ànguls rectes). Informalmente: "un rectàngul cizallado". No totes les referències estan d'acort, i en algunes es definix un romboide com un paralelogramo que no és un rombo.
• Rectàngul: Els seus quatre ànguls són ànguls rectes. Una condició equivalent és que les diagonals es tallen entre sí i que els quatre segments resultants tinguen la mateixa llongitut. Els rectànguls inclouen als quadrats.
• Quadrat (quadrilàter regular): Els seus quatre costats tenen la mateixa llongitut (és equilátero) i els quatre ànguls són ànguls rectes. Una condició equivalent és que els costats oposts siguen paralels (un quadrat és un paralelogramo), que les diagonals es bisequen perpendicularment entre sí i que tinguen la mateixa llongitut. Un quadrilàter és un quadrat si i solament si és tant un rombo com un rectàngul (quatre costats iguals i quatre ànguls iguals).
• Oblongo: És un terme que a voltes s'usa en texts en llengua anglesa per a denominar a un rectàngul que té costats adjacents desiguals (és dir, per a referir-se estrictament a un rectàngul que no és un quadrat).
• Deltoide: Posseïx dos parells de costats adjacents d'igual llongitut. Açò implica que una diagonal dividix el deltoide en dos parts congruents, per lo que els ànguls compresos entre els dos parells de costats desiguals són iguals en mida. També implica que les diagonals són perpendiculars entre sí. Els deltoides també inclouen als rombos.

 Archiu:Quadrilaterals es.svg

• Quadrilàter circumscrit: Els quatre costats són tangentes a una circumferència inscrita. Un quadrilàter convexo és tangencial si i solament si les sumes de les llongituts dels costats oposts són iguals entre sí.
• Trapezi tangencial: És un trapezi en el que els quatre costats són tangentes a una circumferència inscrita.
• Quadrilàter cíclico: Els quatre vèrtiços es troben en un circumferència circumscrita. Un quadrilàter convexo és cíclico si i solament si els ànguls oposts sumen 180°.
• Deltoide recte: Un deltoide en dos ànguls rectes oposts. És un tipo de quadrilàter cíclico.
• Quadrilàter harmònic: Els productes de les llongituts dels costats oposts són iguals. És un tipo de quadrilàter cíclico.
• Quadrilàter bicéntrico: És tangencial i cíclico al mateix temps.
• Quadrilàter ortodiagonal: Les seues diagonals es creuen en àngul recte.
• Quadrilàter equidiagonal: Les diagonals són d'igual llongitut.

• Cuadrilatero extangencial: Les quatre extensions dels costats són tangentes a una circumferència inscrita i exinscrita en un triàngul.
• Quadrilàter equílico: És aquell que té dos costats iguals oposts que, quan s'estenen, es troben a 60°.
• Quadrilàter de Watt: Posseïx un parell de costats oposts d'igual llongitut.
• Quadrilàter quadràtic: És un quadrilàter convexo que els seus quatre vèrtiços es troben en el perímetro d'un quadrat.
• Quadrilàter diametral: Aquell quadrilàter cíclico que té un dels seus costats com diàmetro de la seua circumferència circumscrita.
• Quadrilàter de Hjelmslev: És un quadrilàter en dos ànguls rectes en vèrtiços oposts.

Quadrilàters cóncaus

En un quadrilàter cóncau, un àngul interior és major de 180° i una de les dos diagonals es troba fòra del quadrilàter.

• Un dart (o punta de flecha) és un quadrilàter cóncau en simetria bilateral com un deltoide, pero en un àngul interior major de 180°.

Quadrilàters complexos

Archiu:Caps block 19 facets.png

Un antiparalelogramo

Un quadrilàter autointersecante es pot denominar de vàries formes: quadrilàter creuat, quadrilàter palometa o llaç de pajarita. En un quadrilàter creuat, els quatre ànguls interiors a cada costat del creuament (dos aguts i dos obtusos, tots a l'esquerra o tots a la dreta a mida que es traça la figura) sumen 720°.

• Un trapezi creuat és un quadrilàter autointersecante en el que (com en el cas d'un trapezi), un parell de costats no adjacents són paralels entre sí.
• Antiparalelogramo: És un quadrilàter creuat en el que (com en un paralelogramo) cada parell de costats no adjacents tenen la mateixa llongitut.
• Rectàngul creuat: És un antiparalelogramo els costats del qual són dos costats oposts i les dos diagonals d'un rectàngul, i per lo tant, tenen un parell de costats oposts paralels.
• Quadrat creuat: Es tracta d'un cas especial d'un rectàngul creuat, a on dos dels costats es creuen en àngul recte.

Quadrilàters simètrics

Archiu:Symmetries of square es.svg

Quadrilàters convexos segons les seues simetria

Els quadrilàters també poden classificar-se d'acort en les seues propietats de simetria:

Quadrilàters simples

Eixos de simetria:

• 4 Eixos: el quadrat presenta quatre eixos de simetria: les seues dos diagonals i les seues dos bimedianas
• 2 Eixos: el rombo (les seues dos diagonals) i el rectàngul (els seus dos bimedianas)

• 1 Eix: el trapezi isósceles (la bimediana entre les dos cares paraleles) i el deltoide, tant cóncau com convexo (una diagonal)

Simetria rotacional:

• El quadrat és isotoxal davant girs de 90°.
• El rombo i el rectàngul són isotoxales sobre girs de 180°.

Estos criteris també són aplicables als quadrilàters complexos:

Quadrilàters complexos

Eixos de simetria:

• 2 Eixos: els antiparalelogramos del quadrat i del rectàngul posseïxen dos eixos: una bimediana i la seua perpendicular pel centre.
• 1 Eix: el antiparalelogramo del trapezi isósceles és simètric respecte a la bimediana entre les cares paraleles.

Simetria rotacional:

• Els antiparalelogramos del quadrat i del rectàngul són isotoxal davant girs de 180°.

El restant dels quadrilàters carix de simetria.

Fòrmules diverses

Archiu:Tetragon measures.svg

Els quatre costats d'un quadrilàter: a, b, c, d ;
els quatre vèrtiçs: A, B, C, D ;
les dos diagonals: i, f.

• La suma dels ànguls interns és igual a 360°:

$\alpha +\beta +\gamma +\delta =360^{\circ }$

• Si les diagonals són perpendiculars, es complix la relació següent:

$\theta =90^{\circ }⟺a^2+c^2=b^2+d^2$

• L'àrea d'un quadrilàter es pot calcular per mig de qualsevol d'estes sis fòrmules:

$A=\frac{ef\sin \theta }{2}$ $A=\frac{ad\sin \alpha +bc\sin \gamma }{2}=\frac{ab\sin \beta +cd\sin \delta }{2}$ $A=\frac{1}{4}(b^2+d^2-a^2-c^2)\tan \theta$ $A=\frac{1}{4}\sqrt{4e^2{f}^2-{(b^2+d^2-a^2-c^2)}^2}$ $A=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{e}{|}^2|\overrightarrow{f}{|}^2-(\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{f}{)}^2}$

$A=\frac{1}{2}ad\cdot \sin \alpha +\frac{1}{4}\sqrt{4b^2{c}^2-(b^2+c^2-a^2-d^2+2ad\cdot \cos \alpha {)}^2}$ (per a un quadrilàter en concavidad en C canviar el primer signe + per -).

Teorema de Arquímedes-Faure

Siga el quadrilàter inscrit de costats a,b,c i d; de diagonals perpendiculars que al intersecarse determinen els segments m i n en un d'ells, i p i q en l'atre, i el radi del qual de la circumferència circumscrita es denomina R. En tal cas, són vàlides les igualtats següents:

$a^2+c^2=b^2+d^2=4R^2$

(1) $m^2+n^2+p^2+q^2=4R^2$

Segments especials

Archiu:Geometrie quadrilataire.png

Geometria cuadriláteras.

Les dos diagonalés d'un quadrilàter convexo són els segments que conecten vèrtiços oposts.

Les dos bimedianas d'un quadrilàter convexo són els segments rectilíneos que conecten els punts mijos dels costats oposts. Es creuen en el centroide de vèrtiços del quadrilàter.

Les quatre m-altures d'un quadrilàter convexo són les perpendicular a un costat a través del punt mig del costat opost.

Àrea d'un quadrilàter convexo

Existixen vàries fòrmules generals per al àrea K d'un quadrilàter convexo ABCD en costats Plantilla:Nobreak.

Fòrmules trigonométricas

L'àrea es pot expressar en térmens trigonométricos com

$K=\frac{1}{2}pq\cdot \sin \theta ,$

a on les llongituts de les diagonals són p i q i l'àngul entre elles és θ. En el cas d'un quadrilàter ortodiagonal (per eixemple, rombo, quadrat o deltoide), esta fòrmula es reduïx a $K=\frac{1}{2}pq$ ya que θ és 90°.

L'àrea també es pot expressar en térmens de les bimedianas com

$K=mn\cdot \sin \phi ,$

a on les llongituts de les bimedianas són m i n i l'àngul entre ells és φ.

La fòrmula de Bretschneider expressa l'àrea en térmens de la llongitut dels costats i del valor de dos ànguls oposts:

$\begin{array}{cc}K& =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{2}abcd[1+\cos (A+C)]}\\ & =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[{\cos }^2\left(\frac{A+C}{2}\right)\right]}\end{array}$

a on els costats (denominats consecutivament) són a, b, c i d, a on s és el semiperímetro, i a on A i C són dos (de fet, qualssevol dos) ànguls oposts. Açò es reduïx a la fòrmula de Brahmagupta per a l'àrea d'un quadrilàter cíclico quan Plantilla:Nobreak.

Una atra fòrmula de l'àrea en funció de la llongitut dels costats i del valor dels ànguls, en l'àngul C entre els costats b i c, i A entre els costats a i d, és

$K=\frac{1}{2}ad\cdot \sin A+\frac{1}{2}bc\cdot \sin C.$

En el cas d'un quadrilàter cíclico, l'última fòrmula es convertix en $K=\frac{1}{2}(ad+bc)\sin A.$

En un paralelogramo, a on abdós parells de costats oposts i ànguls són iguals, esta fòrmula es reduïx a $K=ab\cdot \sin A.$

Alternativament, es pot determinar l'àrea en térmens dels costats i l'àngul d'intersecció θ de les diagonals, sempre que este àngul no siga 90°:

$K=\frac{|\tan \theta |}{4}\cdot |a^2+c^2-b^2-d^2|.$

En el cas d'un paralelogramo, l'última fòrmula es convertix en $K=\frac{1}{2}|\tan \theta |\cdot |a^2-b^2|.$

Una atra fòrmula de l'àrea que inclou els costats a, b, c i d, és:

$K=\frac{1}{2}\sqrt{((a^2+c^2)-2x^2)((b^2+d^2)-2x^2)}\sin \phi$

a on x és la distància entre els punts mijos de les diagonals i φ és l'àngul entre les bimedianas.

L'última fòrmula de l'àrea trigonométrica que inclou els costats a, b, c i d i l'àngul α entre a i b, és:^{cita requerida}

$K=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \alpha +\frac{1}{4}\sqrt{4c^2{d}^2-(c^2+d^2-a^2-b^2+2ab\cdot \cos \alpha {)}^2},$

que també es pot usar per a l'àrea d'un quadrilàter cóncau (que té la part cóncava oposta a l'àngul α) simplement canviant el primer signe + per un -.

Fòrmules no trigonométricas

Les següents dos fòrmules expressen l'àrea en térmens dels costats a, b, c i d; del semiperímetro s i de les diagonals p i q:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)},$

$K=\frac{1}{4}\sqrt{4p^2{q}^2-{(a^2+c^2-b^2-d^2)}^2}.$

La primera es reduïx a la fòrmula de Brahmagupta en el cas del quadrilàter cíclico, ya que llavors pq = ac + bd.

L'àrea també es pot expressar en térmens de les bimedianas m i n; i de les diagonals p i q:

$K=\frac{1}{2}\sqrt{(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)},$

$K=\frac{1}{2}\sqrt{p^2{q}^2-(m^2-n^2{)}^2}.$

De fet, tres dels quatre valores m, n, p i q són suficients per a la determinació de l'àrea, ya que en qualsevol quadrilàter els quatre valors estan relacionats per $p^2+q^2=2(m^2+n^2).$ Les expressions corresponents són:

$K=\frac{1}{2}\sqrt{[(m+n{)}^2-p^2]\cdot [p^2-(m-n{)}^2]},$

si es donen les llongituts de dos bimedianas i d'una diagonal, i

$K=\frac{1}{4}\sqrt{[(p+q{)}^2-4m^2]\cdot [4m^2-(p-q{)}^2]},$

si es donen les llongituts de dos diagonals i d'una bimediana.

Fòrmules vectorials

L'àrea d'un quadrilàter ABCD es pot calcular usant vectorés. Siguen els vectores AC i BD corresponents a les diagonals des de A fins a C i des de B fins a D. L'àrea del quadrilàter és llavors

$K=\frac{1}{2}|𝐀𝐂\times 𝐁𝐃|,$

que és la mitat de la magnitut del producte vectorial dels vectores AC i BD. En l'espai euclidiano bidimensional, expressant el vector AC com un vector lliure en l'espai cartesiano igual a (x₁, i₁) i BD com (x₂, i₂), açò pot reescriure's com:

$K=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|.$

Diagonals

Propietats de les diagonals en alguns quadrilàters

En la següent taula s'enumera si les diagonals en alguns dels quadrilàters més bàsics es bisecan entre sí, si les seues diagonals són perpendiculars i si les seues diagonals tenen la mateixa llongitut. La llista s'aplica als casos més generals:

Quadrilàter	Diagonals bisecantes	Diagonals perpendiculars	Diagonals iguals
Trapezi	No	Vore nota 1	No
Trapezi isósceles	No	Vore nota 1	Sí
Paralelogramo	Si	No	No
Deltoide	Vore nota 2	Si	Vore nota 2
Rectàngul	Sí	No	Sí
Rombo	Sí	Sí	No
Quadrat	Sí	Sí	Sí

Nota 1: Els trapezis (inclosos els trapezis isósceles), en general no tenen diagonals perpendiculars, pero hi ha un número infinit de trapezis (no semblants entre sí) i de trapezis isósceles, que tenen diagonals perpendiculars i no són cap atre tipo de quadrilàter.

Nota 2: En un deltoide, una diagonal dividix a l'atra. El deltoide més general té diagonals desiguals, pero hi ha un número infinit de deltoides (no similars) en els que les diagonals tenen la mateixa llongitut (i que no s'ajusten a la definició d'un atre quadrilàter).

Llongituts de les diagonals

Les llongituts de les diagonals en un quadrilàter convexo ABCD es poden calcular usant el teorema del coseno en cada triàngul format per una diagonal i dos costats del quadrilàter. Aixina

$p=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos B}=\sqrt{c^2+d^2-2cd\cos D}$

i

$q=\sqrt{a^2+d^2-2ad\cos A}=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos C}.$

Atres fòrmules més simètriques per a les llongituts de les diagonals són:

$p=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos B+\cos D)}{ab+cd}}$

i

$q=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos A+\cos C)}{ad+bc}}.$

Generalisacions de la llei del paralelogramo i de la teorema de Ptolomeo

En qualsevol quadrilàter convexo ABCD, la suma dels quadrats dels quatre costats és igual a la suma dels quadrats de les dos diagonals més quatre voltes el quadrat de la llongitut del segment que conecta els punts mijos de les diagonals. Aixina

$a^2+b^2+c^2+d^2=p^2+q^2+4x^2$

a on x és la distància entre els punts mijos de les diagonals. Açò a voltes es coneix com el teorema del quadrilàter de Euler i és una generalisació de la llei del paralelogramo.

El matemàtic alemà Carl Anton Bretschneider va deduir en 1842 la següent generalisació del Teorema de Ptolomeo sobre el producte de les diagonals en un quadrilàter convexo:

$p^2{q}^2=a^2{c}^2+b^2{d}^2-2abcd\cos (A+C).$

Esta relació pot considerar-se com a equivalent al teorema del coseno per a un quadrilàter. En un quadrilàter cíclico, a on A+C=180°, es reduïx a pq=ac+bd. Com cos(A+C)≥−1, també proporciona una prova de la desigualtat de Ptolomeo.

Atres relacions mètriques

Si X i I són els peus de les normals des de B i D fins a la diagonal AC=p en un quadrilàter convexo ABCD en costats a=AB, b=BC, c=CD i d=DA, llavors

$XY=\frac{|a^2+c^2-b^2-d^2|}{2p}.$

En un quadrilàter convexo ABCD en costats a=AB, b=BC, c=CD i d=DA, i a on les diagonals es creuen en I,

$efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)$

a on i=AE, f=BE, g=CE, i h=DE.

La forma i el tamany d'un quadrilàter convexo estan completament determinats per les llongituts dels seus costats en seqüència i d'una diagonal entre dos vèrtiços especificats. Les dos diagonals p, q i les quatre llongituts laterals a, b, c, d d'un quadrilàter estan relacionades pel determinant de Cayley-Menger, de la següent manera:

$\det \left[\begin{array}{ccccc}0& a^2& p^2& d^2& 1\\ a^2& 0& b^2& q^2& 1\\ p^2& b^2& 0& c^2& 1\\ d^2& q^2& c^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right]=0.$

Bisectrices

Les bisectrices internes d'un quadrilàter convexo formen un quadrilàter cíclico (és dir, els quatre punts d'intersecció de les bisectrices adjacents són cocíclicos) o són concurrente. En l'últim cas, es tracta d'un quadrilàter circumscrit.

En el quadrilàter ABCD, si les bisectrices de A i C coincidixen en la diagonal BD, llavors les bisectrices de B i D es troben sobre la diagonal AC.

Bimedianas

Artícul principal → Teorema de Varignon.

Archiu:Varignon theorem convex.png

Paralelogramo de Varignon (EFGH)

Les bimedianas d'un quadrilàter són els segments de llínea que conecten els punts mijos dels costats oposts. L'intersecció de les bimedianas és el centroide dels vèrtiços del quadrilàter.

Els punts mijos dels costats de qualsevol quadrilàter (convexo, cóncau o creuat) són els vèrtiços d'un paralelogramo, cridat paralelogramo de Varignon. Té les següents propietats:

• Cada parell de costats oposts del paralelogramo de Varignon són paralels a una diagonal en el quadrilàter original.
• Un costat del paralelogramo de Varignon és la mitat de llarc que la diagonal del quadrilàter original a la que és paralel.
• L'àrea del paralelogramo de Varignon és igual a la mitat de l'àrea del quadrilàter original. Açò és cert per als quadrilàters convexos, cóncaus i creuats, sempre que l'àrea d'estos últims es definixca com la diferència de les àrees dels dos triànguls dels que està compost.
• El perímetro del paralelogramo de Varignon és igual a la suma de les diagonals del quadrilàter original.
• Les diagonals del paralelogramo de Varignon són les bimedianas del quadrilàter original.

Les dos bimedianas d'un quadrilàter i el segment que unix els punts mijos de les diagonals d'eixe quadrilàter són concurrente, i totes queden dividides en dos parts iguals pel seu punt d'intersecció.

En un quadrilàter convexo en costats a, b, c i d, la llongitut de la bimediana que conecta els punts mijos dels costats a i c és

$m=\frac{1}{2}\sqrt{-a^2+b^2-c^2+d^2+p^2+q^2}$

a on p i q són les longituded de les diagonals. La llongitut de la bimediana que conecta els punts mijos dels costats b i d és

$n=\frac{1}{2}\sqrt{a^2-b^2+c^2-d^2+p^2+q^2}.$

Per lo tant,

$p^2+q^2=2(m^2+n^2).$

Este també és un corolari a la llei del paralelogramo aplicada sobre el paralelogramo de Varignon.

Les llongituts de les bimedianas també es poden expressar en térmens de dos costats oposts i la distancia x entre els punts mijos de les diagonals. Açò és possible quan s'usa la teorema del quadrilàter de Euler en les fòrmules anteriors. Llavors

$m=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+d^2)-4x^2}$

i

$n=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-4x^2}.$

Tinga's en conte que els dos costats oposts en estes fòrmules són els dos que no conecta la bimediana.

En un quadrilàter convexo, existix la següent conexió dual entre les bimedianas i les diagonals:

• Les dos bimedianas tenen la mateixa llongitut si i solament si quan les dos diagonals són perpendiculars entre sí.
• Les dos bimedianas són perpendiculars si i solament si les dos diagonals tenen la mateixa llongitut.

Identitats trigonométricas

Els quatre ànguls d'un quadrilàter simple ABCD satisfan les següents identitats:

$\sin A+\sin B+\sin C+\sin D=4\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A+C}{2}\sin \frac{A+D}{2}$

i

$\frac{\tan A\tan B-\tan C\tan D}{\tan A\tan C-\tan B\tan D}=\frac{\tan (A+C)}{\tan (A+B)}.$

Ademés,

$\frac{\tan A+\tan B+\tan C+\tan D}{\cot A+\cot B+\cot C+\cot D}=\tan A\tan B\tan C\tan D.$

En les últimes dos fòrmules, no es permet que cap àngul siga un àngul recte, ya que tan 90° (la funció trigonométrica tangente d'un àngul recte), no està definida.

Desigualtats

Àrea

Si un quadrilàter convexo té els costats consecutius a, b, c i d; i les diagonals p i q; llavors la seua àrea K satisfà

$K\le \frac{1}{4}(a+c)(b+d)$ (sent una igualtat solament per a un rectàngul)

$K\le \frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2+d^2)$ (sent una igualtat solament per a un quadrat)

$K\le \frac{1}{4}(p^2+q^2)$ (sent una igualtat solament si les diagonals són perpendiculars i iguals)

$K\le \frac{1}{2}\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+d^2)}$ (sent una igualtat solament per a un rectàngul)

De la fòrmula de Bretschneider es deduïx directament que l'àrea d'un quadrilàter satisfà que

$K\le \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

donant-se l'igualtat si i solament si el quadrilàter és cíclico o degenerado, de tal manera que la llongitut d'un costat és igual a la suma dels atres tres (és dir, ha colapsat en un segment, per lo que la seua àrea és zero).

L'àrea de qualsevol quadrilàter també satisfà la desigualtat

$K\le \frac{1}{2}\sqrt[3]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}.$

Denotant el perímetro com a L, es té que

$K\le \frac{1}{16}{L}^2,$

en igualtat solament en el cas d'un quadrat.

L'àrea d'un quadrilàter convexo també satisfà que

$K\le \frac{1}{2}pq$

per a llongituts de les diagonals p i q, verificant-se l'igualtat si i solament si les diagonals són perpendiculars.

Sean a, b, c i d les llongituts dels costats d'un quadrilàter convexo ABCD en l'àrea K i diagonals AC=p i BD=q. Llavors

$K\le \frac{a^2+b^2+c^2+d^2+p^2+q^2+pq-ac-bd}{8}$ complint-se l'igualtat solament per a un quadrat.

Sean a, b, c i d les llongituts dels costats d'un quadrilàter convexo ABCD en l'àrea K. Llavors, es complix la següent desigualtat:

$K\le \frac{1}{3+\sqrt{3}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-\frac{1}{2(1+\sqrt{3}{)}^2}(a^2+b^2+c^2+d^2)$ complint-se l'igualtat solament per a un quadrat.

Diagonals i bimedianas

Un corolari de la teorema del quadrilàter de Euler és la desigualtat

$a^2+b^2+c^2+d^2\ge p^2+q^2$

a on l'igualtat es complix si i solament si el quadrilàter és un paralelogramo.

Euler també va generalisar el teorema de Ptolomeo, que és una igualtat per a un quadrilàter cíclico, en una desigualtat per a un quadrilàter convexo. Afirma que

$pq\le ac+bd$

a on es verifica l'igualtat sí i solament si el quadrilàter és cíclico. Esta relació a sovint es denomina desigualtat de Ptolomeo.

En qualsevol quadrilàter convexo, les bimedianas m i n, i les diagonals p i q estan relacionades per la desigualtat

$pq\le m^2+n^2,$

verificant-se l'igualtat si i solament si les diagonals són iguals. Açò es deduïx directament de l'identitat del quadrilàter

$m^2+n^2=\frac{1}{2}(p^2+q^2).$

Costats

Els costats a, b, c i d de qualsevol quadrilàter satisfan que

$a^2+b^2+c^2>\frac{d^2}{3}$

i ademés

$a^4+b^4+c^4\ge \frac{d^4}{27}.$

Propietats de màxims i mínims

Entre tots els quadrilàters en un perímetro dau, el que té l'àrea més gran és el quadrat. Açò es diu teorema isoperimétrico per a quadrilàters. És una conseqüència directa de la desigualtat de l'àrea

$K\le \frac{1}{16}{L}^2$

a on K és l'àrea d'un quadrilàter convexo en perímetro L. L'igualtat es complix sí i solament si el quadrilàter és un quadrat. La doble teorema establix que de tots els quadrilàters en un àrea donada, el quadrat té el perímetro més curt. El quadrilàter en llongituts laterals donades que té l'àrea màxima és el quadrilàter cíclico. De tots els quadrilàters convexos en diagonals donades, el quadrilàter ortodiagonal té l'àrea més gran. Açò és una conseqüència directa del fet de que l'àrea d'un quadrilàter convexo satisfà la condició

$K=\frac{1}{2}pq\sin \theta \le \frac{1}{2}pq,$

a on θ és l'àngul entre les diagonals p i q. L'igualtat es complix si i solament si θ=90°. Si P és un punt interior en un quadrilàter convexo ABCD, llavors

$AP+BP+CP+DP\ge AC+BD.$

D'esta desigualtat es deduïx que el punt dins d'un quadrilàter que minimisa la suma de distàncies als vèrtiços és l'intersecció de les diagonals. Per lo tant, eixe punt és el punt de Fermat d'un quadrilàter convexo.

Punts i llínees notables en un quadrilàter convexo

Archiu:Chaukon.png

Punts i llínees notables en un quadrilàter convexo.

El centre d'un quadrilàter es pot definir de vàries maneres diferents. El "centroide de vèrtiços" prové de considerar el quadrilàter com a buit pero en masses iguals en els seus vèrtiços. El "centroide lateral" ve de considerar que els costats tenen massa constant per unitat de llongitut. El centre habitual, cridat simplement centroide (centre de l'àrea), prové de considerar que la superfície del quadrilàter té una densitat constant. En general, estos tres punts no són tots el mateix punt. El "centroide de vèrtiços" és l'intersecció de les dos bimedianas. Com en qualsevol polígon, les coordenades x i i del centroide de vèrtiços són les miges aritmètiques de les coordenades x i i dels vèrtiços. El "centroide de l'àrea" del quadrilàter ABCD es pot construir de la següent manera. Siguen G_a, G_b, G_c, G_d els centroides dels triànguls BCD, ACD, ABD, ABC respectivament. Llavors, el "centroide de l'àrea" és l'intersecció de les rectes G_aG_c i G_bG_d.

En un quadrilàter convexo general ABCD, no existixen analogia naturals en la circumferència circumscrita i l'altura d'un triàngul. Pero dos d'estos punts es poden construir de la següent manera. Sean O_a, O_b, O_c, O_d els circumcentres dels triànguls BCD, ACD, ABD, ABC respectivament; i siguen H_a, H_b, H_c i H_d els ortocentres dels mateixos triànguls. Llavors, l'intersecció de les llínees O_a O_c i O_b O_d es denomina cuasicircuncentro, i l'intersecció de les llínees H_aH_c i H _bH_d es diu el cuasiortocentro del quadrilàter convexo. Estos punts es poden usar per a definir una recta de Euler d'un quadrilàter. En un quadrilàter convexo, el cuasiortocentro H, el "centroide d'àrea" G i el cuasicircuncentro O són colineales en este orde, i HG=2GO. També es pot definir un cuasicentro de nou punts I com l'intersecció de les llínees I_aI_c i I_bI_d, a on I_a, I_b, I_c, I_d són els centres dels nou punts dels triànguls BCD, ACD, ABD, i ABC respectivament. Llavors I és el punt mig de OH. Una atra llínea notable en un quadrilàter convexo no paralelogramo és la llínea de Newton, que conecta els punts mijos de les diagonals, el segment que conecta estos punts passa pel centroide dels vèrtiços. Una llínea més interessant (en cert sentit dual a la llínea de Newton) és la recta que conecta el punt d'intersecció de les diagonals en el centroide dels vèrtiços. La llínea és notable pel fet de que conté el centroide (àrea). El centroide dels vèrtiços dividix el segment que conecta l'intersecció de les diagonals i el centroide (àrea) en la proporció 3:1.

Per a qualsevol quadrilàter ABCD en punts P i Q, construïts com les interseccions de AD i BC i de AB i CD, respectivament, els círculs (PAB), (PCD), (QAD), i (QBC) passen a través d'un punt comú M, cridat punt de Miquel.

Atres propietats dels quadrilàters convexos

• Dibuixen-se els quadrats exteriors en tots els costats d'un quadrilàter. Els segments que conecten els centres dels quadrats oposts són (a) d'igual llongitut, i (b) perpendiculars. Aixina, estos centres són els vèrtiços d'un quadrilàter ortodiagonal. Açò es diu teorema de Van Aubel.
• Per a qualsevol quadrilàter simple en llongituts de costat donades, hi ha un quadrilàter cíclico en les mateixes llongituts de costat.
• Els quatre triànguls més menuts formats per les diagonals i els costats d'un quadrilàter convexo tenen la propietat de que el producte de les àrees de dos triànguls oposts és igual al producte de les àrees dels atres dos triànguls.

Quadrilàters alabeados

Vore també: Polígon alabeado

Archiu:Disphenoid tetrahedron.png

Els costats d'un disfenoide (color roig) representen un quadrilàter regular alabeado

Un quadrilàter no pla es diu "quadrilàter alabeado". Les fòrmules per a calcular els seus ànguls diédricos a partir de les llongituts dels costats i l'àngul entre dos costats adjacents s'utilisen per a treballar en les propietats de molècules com el ciclobutano, que contenen un anell "alabeado" de quatre àtoms. Històricament, el terme quadrilàter gauche (terme pres del francés, en el significat de no pla) també es va usar per a referir-se a un quadrilàter alabeado. Un quadrilàter alabeado junt en les seues diagonals forma un tetraedre (possiblement no regular), i pel contrari, cada quadrilàter alabeado prové d'un tetraedre al que se li eliminen un parell d'arestes opostes.

Vore també

• Quadràngul complet
• Construcció d'un quadrilàter per mediatrices
• Quadrilàter de Saccheri
• Quadràngul (cartografia)
• Fòrmula de Brahmagupta (àrea d'un quadrilàter)

Enllaços externs

• Commons
• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Quadrilàter.
• Quadrilàter en el Viccionari.
• Plantilla:Springer
• Quadrilateral en MathWorld.
• Enciclopèdia de Quadri-Figures per Chris Van Tienhoven
• Compendium Geometry Geometria analítica de quadrilàters

• Quadrilàters formats per bisectrices perpendiculars, [5] archivat en Wayback Machine. i Classificació interactiva de quadrilàters d'alexander Bogomolny
• Definicions i eixemples de quadrilàters i Definició i propietats dels tetragones de Mathopenref
• Un arbre cuadrilateral jeràrquic (dinàmic) en Esbossos dinàmics de geometria
• Una classificació estesa de quadrilàters en Dynamic Math Pàgina d'inici d'aprenentage
• Diagrama de Venn quadrilàter Quadrilàters expressats en forma de diagrama de Venn, a on les àrees també tenen la forma del quadrilàter que descriuen.
• El paper i la funció d'una classificació jeràrquica dels quadrilàters per Michael de Villiers