Circumcentre de masses

Circumcentre de masses d'un polígon

En geometria, el circumcentre de masses és un centre associat en un polígon que compartix moltes de les propietats del centre de masses. De forma general, el circumcentre de masses pot definir-se per a politopos simpliciales i també en les geometria esfèriques i hiperbòliques.

En el cas especial de quan el politopo és un quadrilàter o hexàgon, el circumcentre de masses es denomina "cuasicircuncentro" i s'ha utilisat per a definir una recta de Euler d'un quadrilàter. El circumcentre de masses també permet definir una recta de Euler per a politopos simpliciales.

Definició en el pla

Siga $P$ un polígon orientat (en vèrtiços numerats anticíclicamente) en el pla, en vèrtiços $V_1,V_2,\dots ,V_n$ i siga $O$ un punt arbitrari que no es trobe sobre les arestes (o les seues extensions). Considere's la triangulació de $P$ formada pels triànguls orientats $O{V}_i{V}_{i+1}$ (l'índex $i$ té mòdul $n$). Associe's a cada u d'estos triànguls el seu circumcentre $C_i$ en un pes igual a la seua àrea orientada (positiu si la seua seqüència de vèrtiços és anticíclica; negativa de lo contrari). El circumcentre de masses de $P$ és el centre de masses d'estos circumcentres ponderats. El resultat és independent de l'elecció del punt $O$.

Propietats

En el cas especial d'un polígon cíclico, el circumcentre de masses coincidix en el circumcentre.

El circumcentre de masses satisfà un anàlec del Lema de Arquímedes, que establix que si un polígon es descompon en dos polígons més menuts, llavors el circumcentre de masses d'eixe polígon és una suma ponderada dels circumcentres de masses dels dos polígons més menuts. Com a conseqüència, qualsevol triangulació en triànguls no degenerados pot usar-se per a definir el circumcentre de masses.

Per a un polígon equilátero, el circumcentre de masses i el centre de masses coincidixen. En térmens més generals, el circumcentre de masses i el centre de masses coincidixen per a un politopo simplicial per al que cada cara té la suma de quadrats de les seues vores constant.

El circumcentre de masses és invariante baix l'operació de "retallada" de polígons, i davant la transformació discreta bicíclica (Darboux); en atres paraules, l'image d'un polígon baix estes operacions té el mateix circumcentre de masses que el polígon original. La recta de Euler generalisada intervé en la teoria de sistemes integrables.

Sean $V_i=(x_i,y_i)$ els vèrtiços de $P$ i siga $A$ la seua àrea. El circumcentre de masses $CCM(P)$ del polígon $P$ està donat per la fòrmula

$CCM(P)=\frac{1}{4A}(\sum _{i=0}^{n-1}-y_i{y}_{i+1}^2+y_i^2{y}_{i+1}+x_i^2{y}_{i+1}-x_{i+1}^2{y}_i,\sum _{i=0}^{n-1}-x_{i+1}{y}_i^2+x_i{y}_{i+1}^2+x_i{x}_{i+1}^2-x_i^2{x}_{i+1}).$

El circumcentre de masses pot estendre's a curves suaus per mig d'un procediment limitante. Este llímit continu coincidix en el centre de massa de la làmina homogénea delimitada per la curva.

Baix supòsits naturals, els centres de polígons que satisfan el lema de Arquímedes són precisament els punts de la seua recta de Euler. En atres paraules, els únics centres en "bon comportament" que satisfan el lema de Arquímedes són les combinacions afins del circumcentre de masses i del centre de masses.