Isoperimetría
Isoperimetría significa lliteralment "en un perímetro igual". En matemàtica, la isoperimetría és l'estudi general de les figures geomètriques que tenen contorns iguals.
El problema isoperimétrico en el pla
[editar | editar còdic]
El problema isoperimétrico clàssic data de l'antiguetat.[1] El problema es pot enunciar com seguix: Entre totes les curvas tancades en el pla de perímetro fix, ¿quina curva (si l'hi ha) maximizar l'àrea de la regió que tanca? Es pot demostrar que esta qüestió és equivalent al següent problema: Entre totes les curves tancades en el pla que tanca un àrea fixa, ¿quina curva (si l'hi ha) minimisa el perímetro?
Este problema està relacionat conceptualment en el principi de mínima acció de la física, en que pot ser reescrit: ¿quin és el principi d'acció que tanca la major àrea, en la major economia d'esforç? El filòsof de el XV, Nicolás de Cusa, va considerar l'acció rotatòria, el procés pel que es genera un círcul, com el reflex més directe, en el domini de les impressions sensorials, del procés pel que es crea l'univers. L'astrònom alemà Johannes Kepler va invocar el principi isoperimétrico en discutir la morfologia del sistema solar, en Mysterium Cosmographicum (El misteri sagrat del Cosmos, 1596).
Dos grans figures de les matemàtiques de el XVIII, Joseph-Louis de Lagrange i Leonhard Euler, varen fer sengles notables contribucions per a la resolució de problemes de isoperímetro similars, problemes que havien segut un assunt de discussió durant més de mig sigle, per mig d'una nova tècnica: el càlcul de variacions.[2] No obstant, no varen abordar la demostració del problema concret de la curva d'una llongitut donada capaç de comprendre una major àrea.
Encara que el círcul sembla ser la solució òbvia al problema, provar este fet és prou difícil. El primer alvanç cap a la solució ho va fer el geómetra suís Jakob Steiner en 1838, usant un método geomètric cridat simetrización de Steiner. Steiner va mostrar que si existia una solució, llavors tenia que ser el círcul. La prova de Steiner la varen completar més alvance varis atres matemàtics.
Steiner comença en algunes construccions geomètriques[3] fàcils d'entendre; per eixemple, es pot demostrar que qualsevol curva tancada que tanca una regió que no és completament convexa pot ser modificada per a tancar un àrea major "volteando" les àrees cóncaves per a que es tornen convexas. Es pot demostrar ademés que qualsevol curva tancada que no siga completament simètrica pot ser deformada per a tancar un àrea major. L'única forma que és perfectament convexa i simètrica és el círcul, encara que açò, en sí mateixa, no representa una prova rigorosa de la teorema isoperimétrico (vore els enllaços externs).
La teorema se sol enunciar en forma d'una desigualtat que relaciona el perímetro i l'àrea d'una curva tancada en el pla. Si P és el perímetro de la curva i A és l'àrea de la regió tancada per la curva, llavors la desigualtat establix que
Per al cas d'un círcul de ràdio r, tenim A = πr2 i P = 2πr, i introduint estos valors en la desigualtat es mostra que el círcul maximizar de fet l'àrea entre totes les curves de perímetro fix. De fet, el círcul és l'única curva que maximizar l'àrea.
Hi ha dotzenes de proves per a esta desigualtat clàssica. Vàries es comenten en l'artícul de Treiberg enllaçat més avall. En 1901, Adolf Hurwitz va donar una prova purament analítica de la desigualtat isoperimétrica clàssica basada en les Séries de Fourier i en el teorema de Green.
Les formulació modernes dels problemes isoperimétricos es donen a voltes en térmens de geometria subriemanniana. En particular, el problema de Dido troba l'expressió en térmens del grup de Heisenberg: donat un arc que conecta dos punts, la "altura" z d'un punt en el grup de Heisenberg correspon a l'àrea baix l'arc.
La teorema isoperimétrico es generalisa a espais de major dimensió: el domini en volum 1 en la superfície mínima és sempre una esfera.
Vore també
[editar | editar còdic]Notes i referències
[editar | editar còdic]- ↑ «Sobre mates i mits» (en és). EL PAÍS. Consultat el 2021-01-14.
- ↑ (2010) «XXII. Els matemàtics de la Revolució Francesa», Història de la matemàtica, 10ª edició (en és), Madrit: Aliança Editorial, p. 615 (de 808). ISBN 978 84 206 8186 3.
- ↑ J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. regne angew Math. 18, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Isoperimetría» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.