Fòrmula de Brahmagupta

En geometria euclidiana, la fòrmula de Brahmagupta (cridada aixina en honor al matemàtic indi Brahmagupta, qui la va utilisar per primera volta) permet trobar l'àrea de qualsevol quadrilàter donades les llongituts dels costats i alguns dels ànguls. En la seua formulació més comuna, proporciona l'àrea dels quadrilàters cíclicos, és dir, aquells que es poden inscriure en una circumferència.

Forma bàsica

La fòrmula de Brahmagupta, en la seua expressió més simple, permet trobar l'àrea d'un quadrilàter els costats del qual tenen llongituts a, b, c, d:

$A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

a on s és el semiperímetro:

$s=\frac{a+b+c+d}{2}\cdot$

$s-a=\frac{-a+b+c+d}{2}$

$s-b=\frac{a-b+c+d}{2}$

$s-c=\frac{a+b-c+d}{2}$

$s-d=\frac{a+b+c-d}{2}$

Esta fòrmula generalisa la fòrmula de Herón per a l'àrea d'un triàngul. De fet, la fòrmula de Herón poden derivar-se de la fòrmula de Brahmagupta si es permet que d tendixca a zero. Des d'esta perspectiva, un triàngul pot ser considerat com un quadrilàter en un costat de llongitut zero; un quadrilàter cíclico convergix en un triàngul cíclico (tots els triànguls són cíclicos), i la fòrmula de Brahmagupta convergix en la fòrmula de Herón.