Fòrmula de Bretschneider

Fòrmula de Bretschneider

Un quadrilàter en la denominació dels seus elements característics

En geometria, la fòrmula de Bretschneider és una expressió que permet calcular l'àrea d'un quadrilàter general:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}$

$=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{2}abcd[1+\cos (\alpha +\gamma )]}.$

Ací, a, b, c, d són els costats del cuadrilatero, s és el semiperímetro, i α i γ són dos ànguls oposts.

Es complix en qualsevol quadrilàter, ya siga cíclico o no.

El matemàtic alemà Carl Anton Bretschneider va descobrir la fòrmula en 1842. També va ser deduïda eixe mateix any pel matemàtic alemà Karl Georg Christian von Staudt.

Demostració

Si es denomina K a l'àrea del cuadrilatero, llavors es té que

$\begin{array}{cc}K& =\text{área de }\mathrm{△}ADB+\text{área de }\mathrm{△}BDC\\ & =\frac{ad\mathrm{sen}\alpha }{2}+\frac{bc\mathrm{sen}\gamma }{2}.\end{array}$

Per lo tant

$2K=(ad)\mathrm{sen}\alpha +(bc)\mathrm{sen}\gamma .$

$4K^2=(ad{)}^2{\mathrm{sen}}^2\alpha +(bc{)}^2{\mathrm{sen}}^2\gamma +2abcd\mathrm{sen}\alpha \mathrm{sen}\gamma .$

La llei del coseno implica que

$a^2+d^2-2ad\cos \alpha =b^2+c^2-2bc\cos \gamma ,$

perque abdós costats equivalen al quadrat de la llongitut de la diagonal BD, lo que es pot reescriure com

$\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2}{4}=(ad{)}^2{\cos }^2\alpha +(bc{)}^2{\cos }^2\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .$

Afegint açò a la fòrmula superior per 4K², resulta

$\begin{array}{cc}4K^2+\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2}{4}& =(ad{)}^2+(bc{)}^2-2abcd\cos (\alpha +\gamma )\\ & =(ad+bc{)}^2-2abcd-2abcd\cos (\alpha +\gamma )\\ & =(ad+bc{)}^2-2abcd(\cos (\alpha +\gamma )+1)\\ & =(ad+bc{)}^2-4abcd\left(\frac{\cos (\alpha +\gamma )+1}{2}\right)\\ & =(ad+bc{)}^2-4abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).\end{array}$

Note's que ${\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}=\frac{1+\cos (\alpha +\gamma )}{2}$ (una identitat trigonométrica certa para tot $\frac{\alpha +\gamma }{2}$)

Seguint els mateixos passos que en la fòrmula de Brahmagupta, es pot escriure com

$16K^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).$

Introduint el semiperímetro

$s=\frac{a+b+c+d}{2},$

lo anterior es convertix en

$16K^2=16(s-d)(s-c)(s-b)(s-a)-16abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

$K^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

i la fòrmula de Bretschneider es deduïx despuix de traure la raïl quadrada d'abdós costats de l'equació:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}$

Fòrmules relacionades

La fòrmula de Bretschneider generalisa la fòrmula de Brahmagupta per a l'àrea d'un quadrilàter cíclico, que a la seua volta generalisa la fòrmula de Herón per a l'àrea d'un triàngul.

L'ajust trigonométrico en la fòrmula de Bretschneider per a la no ciclicidad del quadrilàter es pot reescriure de forma no trigonométrica en térmens dels costats i les diagonals i i f per a donar

$\begin{array}{cc}K& =\frac{1}{4}\sqrt{4e^2{f}^2-(b^2+d^2-a^2-c^2{)}^2}\\ & =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}.\end{array}$