Coplanaridad

Coplanaridad

En geometria, un conjunt de punts en l'espai és coplanario (l'anglicisme coplanar és incorrecte) si tots els punts es troben en el mateix pla. Per eixemple, tres punts distints sempre són coplanarios, i si són distints i no estan alineats, el pla que determinen és únic. No obstant, quatre punts distints poden no pertànyer al mateix pla, sent llavors no coplanarios.

Dos rectes en l'espai són coplanarias si existix un pla que conté a abdós. Açò ocorre quan les rectes són paraleles o secantes. Dos rectes no coplanarias es diu que es creuen.

Els determinants de Cayley-Menger proporcionen una solució per al problema de determinar si un conjunt de punts és coplanario, coneixent només les distàncies entre ells.

Propietats en tres dimensions

En tres dimensions, dos vectores linealmente independents en el mateix orige determinen un pla. El seu producte vectorial és un vector perpendicular al pla, i qualsevol vector perpendicular al producte està contingut en el pla. Açò conduïx a la següent caracterisació de coplanaridad utilisant el producte mixt:

Quatre punts $x,y,z,w$ són coplanarios si i només si

$[(y-x)\times (w-x)]\cdot (z-x)=0$

o be, equivalentemente,

$(y-x)\cdot [(w-x)\times (z-x)]=0$

Si tres vectores $a,b,c$ són coplanarios, i $a\cdot b=0$ (és dir, $a$ i $b$ són perpendiculars), llavors

$(c\cdot \hat{a})\hat{a}+(c\cdot \hat{b})\hat{b}=c$

a on $\hat{a}$ denota el vector unitari en la direcció de $a$. És dir, la suma de la proyecció de $c$ en la direcció de $a$ i la proyecció de $c$ en la direcció de $b$ dona el vector original $c$.

Coplanaridad de punts en n dimensions donades les seues coordenades

Este és un método general per a determinar si un conjunt arbitrari de punts és coplanario, basat en el fet de que un pla està determinat per dos vectores linealmente independents.

En un espai n-dimensional, en n ≥ 3, un conjunt de k punts $\{p_0,p_1,\mathrm{...},p_{k-1}\}$ és coplanario si i només si la matriu les columnes de la qual (o files) són els vectores $\overrightarrow{p_0{p}_1},\overrightarrow{p_0{p}_2},\mathrm{...},\overrightarrow{p_0{p}_{k-1}}$ té ranc ≤ 2.

Per eixemple, daus quatre punts

$x=(x_1,x_2,\mathrm{...},x_n)$

$y=(y_1,y_2,\mathrm{...},y_n)$

$z=(z_1,z_2,\mathrm{...},z_n)$

$w=(w_1,w_2,\mathrm{...},w_n)$

són coplanarios si i només si la matriu

$\left(\begin{array}{ccc}{y}_1-x_1& z_1-x_1& w_1-x_1\\ y_2-x_2& z_2-x_2& w_2-x_2\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ y_n-x_n& z_n-x_n& w_n-x_n\end{array}\right)$

té ranc ≤ 2.

En el cas particular en el que l'orige pertanyga al conjunt de punts, la propietat pot enunciar-se com: un conjunt de k punts és coplanario si i només si la matriu formada per les coordenades dels punts té ranc ≤ 2.