Ràdio de curvatura

Archiu:Radius of curvature.svg

Ràdio de curvatura

El radi de curvatura és una magnitut que medix la curvatura d'un objecte geomètric tal com una llínea curva, una superfície o més en general una varietat diferenciable embebida en un espai euclídeo.

Ràdio de curvatura d'una curva

El radi de curvatura d'una llínea curva o un objecte aproximable per mig d'una curva és una magnitut geomètrica que pot definir-se en cada punt de la mateixa i que coincidix en l'invers del valor absolut de la curvatura en cada punt:

$R_c(s):=\frac{1}{\chi (s)}$

Per un atre costat la curvatura és una mida del canvi que sofrix la direcció del vector tangente a una curva quan nos movem a lo llarc d'esta. Per a una curva parametrizada qualsevol la curvatura i el radi de curvatura vénen daus per:

Si en lloc d'un paràmetro qualsevol usem el paràmetro de llongitut d'arc, l'anterior equació se simplifica molt, per resultar un vector tangente constant, i pot escriure's com:

Curves planes

Per a una curva plana l'equació de la qual puga escriure's en coordenades cartesianas $(x,y)$ com $x=x(t);y=y(t)$ a on t és un paràmetro arbitrari, l'expressió per al radi de curvatura es reduïx a:

$R_c=\frac{{[{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2]}^{\frac{3}{2}}}{|\frac{dx}{dt}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}|}$

En cas que puga escriure's $y=f(x)$ de tal modo que per a cada punt de la curva existixca un únic valor de $x$, llavors pot prendre's a $x$ com el paràmetro arbitrari, i el radi de curvatura es pot calcular simplement com:

Demostració

En primer lloc tenim l'equació paramètrica de la curva $\gamma (t):ℝ\to {ℝ}^n$ de la que volem deduir la seua ràdio de curvatura $\rho$. Ara devem buscar l'equació paramètrica de la circumferència ($g:ℝ\to {ℝ}^n$) que pren el mateix valor que $\gamma$ i ademés satisfaça que $g^{\prime }(t)={\gamma }^{\prime }(t)$ i $g^{″}(t)={\gamma }^{″}(t)$ per a cada $t$ fixat. Clarament el radi no depén de la posició ($\gamma (t)$), solament de la velocitat (${\gamma }^{\prime }(t)$) i l'acceleració (${\gamma }^{″}(t)$). A partir de dos vectores $v$ i $w$ solament es poden obtindre tres escalares independents, que són: $v\cdot v$, $w\cdot w$ i $w\cdot v$ . Per lo tant el radi de curvatura dependrà únicament dels escalares $|{\gamma }^{\prime }(t){|}^2$,$|{\gamma }^{″}(t){|}^2$ i ${\gamma }^{\prime }(t)\cdot {\gamma }^{″}(t)$ .

L'equació paramètrica general per a una circumferència en ${ℝ}^n$ ve donada per

$g(u)=A\cos (h(u))+B\sin (h(u))+C$

a on $C\in {ℝ}^n$ és el centre de la circumferència (encara que és irrellevant, per desaparéixer en derivar), $A,B\in {ℝ}^n$ són vectores perpendiculars li mòdul $\rho$ (és dir $A\cdot A=B\cdot B={\rho }^2\wedge A\cdot B=0$) i $h:ℝ\to ℝ$ és una funció qualsevol doblement diferenciable en $t$.

Derivant

$\begin{array}{ccc}|g^{\prime }{|}^2& =& {\rho }^2(h^{\prime }{)}^2\\ g^{\prime }\cdot g^{″}& =& {\rho }^2{h}^{\prime }{h}^{″}\\ |g^{″}{|}^2& =& {\rho }^2((h^{\prime }{)}^4+(h^{″}{)}^2)\end{array}$

si ara igualem a les derivades corresponents de

$\gamma$

obtenim

$\begin{array}{ccc}|\gamma {\text{'}}^2(t)|& =& {\rho }^{2}h{\text{'}}^2(t)\\ {\gamma }^{\prime }(t)\cdot {\gamma }^{″}(t)& =& {\rho }^2{h}^{\prime }(t)h^{″}(t)\\ |{\gamma }^{\prime }{\text{'}}^2(t)|& =& {\rho }^2(h{\text{'}}^4(t)+h^{\prime }{\text{'}}^2(t))\end{array}$

que es tracta d'un sistema en

$\rho$

,

$h^{\prime }(t)$

i

$h^{″}(t)$

que permet rebujar

$\rho$

, obtenint finalment que

$\rho =\frac{|{\gamma }^{\prime }{|}^3}{\sqrt{|{\gamma }^{\prime }{|}^2|{\gamma }^{″}{|}^2-({\gamma }^{\prime }\cdot {\gamma }^{″}{)}^2}}$ .

Ràdio de curvatura de superfícies

Artícul principal → geometria diferencial de superfícies.

Una superfície embebida en l'espai euclídeo tridimensional es caracterisa en cada u dels seus punts per dos radis de curvatura. El centre d'abdós radis de curvatura està situat sobre la recta que conté al vector normal a la superfície. Si els dos radis de curvatura són finitos llavors es té:

• En un punt elíptic d'una superfície, els dos centres de curvatura estan situats del mateix costat de la superfície, la curvatura gaussiana és positiva.
• En un punt hiberbólico d'una superfície, els dos centres de curvatura estan situats en diferents costats de la superfície, la curvatura gaussiana és negativa.
• En un punt parabòlic d'una superfície, un dels radis de curvatura és inifinito.

Referències

Bibliografia

• Girbau, J.: Geometria diferencial i relativitat, Ed. Universitat Autònoma de Barcelona, 1993. ISBN 84-7929-776-X.

• Spiegel, M. & Abellanas, L.: Fòrmules i taules de matemàtica aplicada, Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enllaços externs

• Principal Curvatures en MathWorld.
• Principal Radius of Curvature en MathWorld.
• Introducció a la curvatura de curves planes.