Grup modular

Per a un grup que la seua retícula de subgrups és modular vore grup de Iwasawa.

En matemàtiques, el grup modular és el grup llineal especial proyectivo $PSL(2, Z)$ de matrius d'orde 2 × 2 en coeficients sancers i determinant 1. Les matrius $A$ i $- A$ s'identifiquen entre sí. El grup modular actua en la mitat superior del pla complex per mig de transformacions llineals fraccionarias. El nom "grup modular" prové de la seua relació en els espais modular i no guarda relació en l'aritmètica modular.

Definició

El grup modular $Γ$ és el grup de transformacions fraccionales llineals de la mitat superior del pla complex, que tenen la forma

z \mapsto \frac{a z + b}{c z + d},

a on $a$ , $b$ , $c$ , $d$ són número entero i $ad - bc = 1$ . L'operació de grup és una funció composta.

Este grup de transformacions és isomorfo al grup llineal especial proyectivo $PSL(2, Z)$ , que és el cocient del grup llineal especial bidimensional $SL(2, Z)$ sobre els sancers pel seu centre ${I, - I}$ . En atres paraules, $PSL(2, Z)$ consta de totes les matrius

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

a on $a$ , $b$ , $c$ , $d$ són número entero, $ad - bc = 1$ i els parells de matrius $A$ i $- A$ es consideren idèntics. L'operació del grup és la multiplicació de matrius habitual.

Alguns autors definixen el grup modular com $PSL(2, Z)$ , i uns atres ho definixen com el grup més gran de $SL(2, Z)$ .

Algunes relacions matemàtiques requerixen la consideració del grup $GL(2, Z)$ de matrius en determinant més o menys un ( $SL(2, Z)$ és un subgrup d'este grup). De manera similar, $PGL(2, Z)$ és el grup de cocients $GL(2, Z)/{I, - I}$ . Una matriu 2 × 2 en determinant unitari és una matriu simpléctica i, per tant, $SL(2, Z) = Sp(2, Z)$ , el grup simpléctico de les matrius d'orde 2 × 2.

Determinació dels seus elements

Per a trobar explícitament una matriu

$(\begin{matrix} a & x \\ b & y \end{matrix})$

en $SL(2, Z)$ , es comença en dos sancers coprimos

a, b

i es resol l'equació del determinant

$a y - b x = 1.$

(observe's que l'equació del determinant obliga a

a, b

a ser coprimos, ya que de lo contrari hi hauria un factor

c

tal que

c a^{'} = a

,

c b^{'} = b

, i per lo tant,

$c (a^{'} y - b^{'} x) = 1$

no tindria solucions sanceres). Per eixemple, si

a = 7, b = 6

llavors l'equació del determinant implica que

$7 y - 6 x = 1$

i prenent

y = - 5

i

x = - 6

dona

- 35 - (- 36) = 1

, per lo tant,

$(\begin{matrix} 7 & - 6 \\ 6 & - 5 \end{matrix})$

és una matriu buscada. Llavors, usant la proyecció, estes matrius definixen elements en $PSL(2, Z)$ .

Propietats teòriques dels térmens

El determinant unitat de

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

implica que les fraccions _{$Plantilla:Sfrac$}, _{$Plantilla:Sfrac$}, _{$Plantilla:Sfrac$}, _{$Plantilla:Sfrac$} són totes irreducibles, és dir, no tenen factors comuns (sempre que els denominadors siguen distints de zero, per supost). De manera més general, si $Plantilla:Sfrac$ és una fracció irreducible, llavors

\frac{a p + b q}{c p + d q}

també és irreducible (de nou, sempre que el denominador siga distint de zero). Qualsevol parell de fraccions irreducibles es pot conectar d'esta manera; és dir, per a qualsevol parell $Plantilla:Sfrac$ i $Plantilla:Sfrac$ de fraccions irreducibles, existixen elements

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in SL (2, 𝐙)

tal que

r = a p + b q y s = c p + d q .

Els elements del grup modular proporcionen una simetria en la retícula bidimensional. Sean $ω 1$ i $ω 2$ dos número complejo la raó dels quals no és real. Llavors el conjunt de punts

Λ (ω_{1}, ω_{2}) = {m ω_{1} + n ω_{2} : m, n \in 𝐙}

és una ret de paralelogramos en el pla. Un parell diferent de vectores $α 1$ i $α 2$ generaran exactament el mateix entramat si i solament si

(\begin{matrix} α_{1} \\ α_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} ω_{1} \\ ω_{2} \end{matrix})

per a alguna matriu en $GL(2, Z)$ . És per esta raó que una funció doblement periòdica, com la funció elíptica, posseïxen una simetria de grup modular.

L'acció del grup modular sobre els número racional es pot entendre més fàcilment imaginant una retícula quadrada, en el punt $(p, q)$ corresponent a la fracció $Plantilla:Sfrac$ (vore hort de Euclides). Una fracció irreducible és aquella que és "visible" des de l'orige; l'acció del grup modular sobre una fracció mai du d'un valor "visible" (irreducible) a un "amagat" (reducible), i viceversa.

Tinga's en conte que qualsevol membre del grup modular aplica la recta real proyectada estesa un a un sobre sí mateixa, i ademés aplica biyectivamente la recta racional proyectada estesa (els racionals en l'infinit) sobre sí mateixa, els irracionals sobre els irracionals, els trascendentes sobre els trascendentes, els números no reals sobre els números no reals, el semiplano superior sobre semiplano superior, etcétera.

Si $Plantilla:Sfrac$ i $Plantilla:Sfrac$ són dos térmens convergents successius d'una fracció contínua, llavors la matriu

(\begin{matrix} p_{n - 1} & p_{n} \\ q_{n - 1} & q_{n} \end{matrix})

pertany a $GL(2, Z)$ . En particular, si $bc - ad = 1$ per a sancers positius $a$ , $b$ , $c$ , $d$ en $a < b$ i $c < d$ , llavors $Plantilla:Sfrac$ i $Plantilla:Sfrac$ seran elements veïns en la successió de Farey d'orde $max(b, d)$ . Els casos especials importants de térmens convergents de fraccions contínues inclouen la successió de Fibonacci i les solucions de l'equació de Pell. En abdós casos, els números es poden organisar per a formar un subconjunt que forma un semigrupo del grup modular.

Vore també

Referències

Bibliografia

Apostol, Tom M.. Modular Functions and Dirichlet Séries in Number Theory, 2nd edició, New York: Springer. ISBN 0-387-97127-0.
«Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptische Modul-Functionen».Crelle's Journal.83

265–292..

Este artícul conté una traducció derivada de «Grupo modular» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.