Centre d'un grup

Centre d'un grup

En matemàtiques, i més concretament en teoria de grups, el centre d'un grup és el subconjunt format pels elements que commuten en tots els elements del grup. De manera formal, donat un grup $(G,*)$, es definix el seu centre com:

$\mathrm{Z}(G):=\{g\in G:\mathrm{\forall }h\in G,g*h=h*g\}.$

El centre de $G$ és un subgrup, que ademés és abeliano, normal i característic en $G$.

Eixemples

Per eixemple, siga G el grup GL(2, R) de les matrius invertibles d'orde 2 &claves; 2 en coeficients reals:

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

Les matrius invertibles són aquelles que el seu determinant $\det (A)=(ad-bc)$ és diferent de 0.

Un càlcul directe mostra que el centre de G consistix en les matrius escalares

$\lambda I=\left[\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right],$

a on $\lambda$ és qualsevol número real distint de zero.

Est és un cas particular del resultat següent:

El centre del grup general llineal GL(n, R) -compost per les matrius invertibles d'orde n &claves; n en coeficients reals- ho formen les matrius escalares, és dir, aquelles que són un múltiple (no nul) de la matriu identitat d'orde n.

Per a un atre eixemple, siga G el grup dels cuaterniones. És fàcil verificar que el centre d'eixe grup és $⟨-1⟩=\{-1,1\}$, puix són els únics elements que commuten en el restant.

Propietats

• Si G és abeliano (conmutativo) llavors G=Z(G).

• El centre Z(G) d'un grup G és un subgrup normal abeliano de G.

• El centre de G és un subgrup característic (invariante baix qualsevol automorfisme de G).

Vore també

• Propietat conmutativa.
• Grup abeliano.
• Grup nilpotent.
• Normalizador.
• Subgrup commutador.
• Equació de classes.

Referències

Bibliografia

• (1994) An introduction to the theory of groups, Corrected second printing, 1999 edició, Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-8686-8.
• «Introducció a la teoria de grups».