Successió de Fibonacci

En matemàtiques, la successió de Fibonacci és:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 \dots

.

La successió comença en dos número natural (depenent de la referència, en 0 i 1 en certs casos, unes atres inicien en 1 i 1) i a partir d'estos, «cada terme és la suma dels dos anteriors», és la relació de recurrencia que la definix.

Esta successió va ser descrita en Europa per Leonardo de Pisa, matemàtic italià de el XIII també conegut com Fibonacci. Té numeroses aplicacions en ciències de la computació, matemàtica, tendències bossístiques i teoria de jocs. També apareix en configuracions biològiques, com per eixemple en les branques dels arbres, en la disposició dels fulls en el talle, en les flors de carchofas i girasolés, en les #inflorescència del bròcul romanesco, en la configuració de les pinyes de les coníferes, en la reproducció de vàries espècies, en l'estructura espiral de la closca d'alguns moluscs, com el nautilus, dinàmica dels huracans, organisació de les galàxies, proporcions del cos humà, les seues parts i subpartes i en cóm l'ADN codifica el creiximent de les formes orgàniques complexes.

Història

La successió va ser descrita i donada a conéixer en occident per Fibonacci ejemplificándolo en la solució a un problema de la cría de conills, donant inici a eixe simpàtic mit de que aixina la descobrira.^[1]

Leonardo Pisano, Leonardo de Pisa, o Leonardo Bigollo, també conegut com Fibonacci, va nàixer en 1170 i va morir en 1240. Va ser un divulgador i estudiós de la matemàtica indo-aràbiga depresa en Aleixandria, Alger, Bugia i atres ciutats del mediterràneu sur, exponent múltiples aplicacions pràctiques d'una matemàtica desconeguda en Occident, com els numerals àraps (en un sistema de numeració decimal, notació posicional i un dígit de valor nul: el zero), en émfasis en el seu us en contabilitat, física i pedagogia i disciplina matemàtica, tant que la República de Pisa ho honra concedint-li un salari permanent en agraïment als seus servicis assessorant en matèries de contabilitat a la ciutat i ensenyat als ciutadans.^{cita requerida}

Abans de ser coneguda en Occident, la successió de Fibonacci ya estava descrita en la matemàtica en l'Índia, en conexió en la prosòdia sánscrita.^[2]^[3]

Susantha Goonatilake sugerix que el desenroll de la seqüència de Fibonacci «és atribuït en part a Pingala (any 200), posteriorment associat en Virahanka (cap a l'any 700), Gopāla (cap a 1135) i Hemachandra (cap a 1150)».^[4] Parmanand Singh cita a Pingala (cap a 450) com a precursor en el descobriment de la seqüència.^[5]

Aplicació de les seqüències de Fibonacci aplicades a l'eixemple dels conills:

Número de més	Explicació de la genealogia	Parelles de conills
Comence del més 1	Naix una parella de conills (parella A).	1 parella en total.
Fi del més 1	La parella A té un més d'edat. Es creua la parella A.	1+0=1 parella en total.
Fi del més 2	La parella A dona a llum a la parella B. Es torna a creuar la parella A.	1+1=2 parelles en total.

Nota: en contar la cantitat de lletres distintes en cada més, es pot saber la cantitat de parelles totals que hi ha fins a eixe més.

D'esta manera Fibonacci va presentar la successió en el seu llibre Liber Abaci, publicat en 1202. Moltes propietats de la successió de Fibonacci varen ser descobertes per Édouard Lucas, responsable d'haver-la denominat com li la coneix en l'actualitat.^[6]

També Kepler va descriure els números de Fibonacci, i el matemàtic escocés Robert Simson va descobrir en 1753 que la relació entre dos números de Fibonacci successius $f_{n + 1} / f_{n}$ s'acosta a la relació áurea fi ( $ϕ$ ) quan $n$ tendix a infinit. Esta successió va tindre popularitat en el XX especialment en l'àmbit musical, en el que compositors en tant renom com Béla Bartók, Olivier Messiaen, la banda Tool i Delia Derbyshire la varen utilisar per a la creació de concordes i de noves estructures de frases musicals.

Definició recurrent

Els números de Fibonacci queden definits per les equacions

(1) $f_{0} = 0$

(2) $f_{1} = 1$

(3) $f_{n} = f_{n - 1} + f_{n - 2}$

En n>=2.

Açò produïx els següents números:

$f_{2} = 1$
$f_{3} = 2$
$f_{4} = 3$
$f_{5} = 5$
$f_{6} = 8$
$f_{7} = 13$
$f_{8} = 21$

i aixina successivament.

Si be, en algunes publicacions s'omet en la presentació el terme $f_{0}$ , i en unes atres s'inicia en $f_{1} = 0, f_{2} = 1$ , la definició usual inicia en $f_{0} = 0, f_{1} = 1$ en la qual cosa els valors $f_{1} = 1, f_{2} = 1$ coincidixen en els valors de la cantitat de conills en els primers dos mesos, en el problema corresponent del Liber Abaci.

Funció generadora

Una funció generadora ordinària per a una successió qualsevol $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots$ és la série formal de potències $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + \dots$ , a on cada coeficient és un element de la successió. Els números de Fibonacci tenen la funció generadora

(4) $f (x) = \frac{x}{1 - x - x^{2}}$

Quan esta funció s'expandix en potències de $x$ , els coeficients resulten ser la successió de Fibonacci:

\frac{x}{1 - x - x^{2}} = 0 x^{0} + 1 x^{1} + 1 x^{2} + 2 x^{3} + 3 x^{4} + 5 x^{5} + 8 x^{6} + 13 x^{7} + \dots

Fòrmula explícita

La definició de la successió de Fibonacci és recurrent; és dir: es necessiten calcular tots els térmens anteriors per a poder calcular un terme específic. Es pot obtindre una fòrmula explícita de la successió de Fibonacci (que no requerix calcular térmens anteriors) notant que les equacions (1), (2) i (3) definixen la relació de recurrencia

f_{n + 2} - f_{n + 1} - f_{n} = 0

en les condicions inicials

f_{0} = 0

i

f_{1} = 1

El polinomi característic d'esta relació de recurrencia és $t^{2} - t - 1 = 0$ , i les seues raïls són

t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

D'esta manera, la fòrmula explícita de la successió de Fibonacci tindrà la forma

f_{n} = b {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} + d {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}

.

Si es prenen en conte les condicions inicials, llavors les constants $b$ i $d$ satisfan l'equació anterior quan $n = 0$ i $n = 1$ , és dir que satisfan el sistema d'equacions

\begin{matrix} b + d & = & 0 \\ b (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}) + d (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}) & = & 1 \end{matrix}}

En resoldre este sistema d'equacions s'obté

b = \frac{1}{\sqrt{5}}, d = - \frac{1}{\sqrt{5}}

Per lo tant, cada número de la successió de Fibonacci pot ser expressat com a

(5) $f_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - \frac{1}{\sqrt{5}} {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}$

.

Per a simplificar encara més és necessari considerar el número áureo

φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

de manera que l'equació (5) es reduïx a

(6) $f_{n} = \frac{φ^{n} - {(- φ^{- 1})}^{n}}{\sqrt{5}}$

.

Esta fòrmula, coneguda com a fòrmula de Binet se li atribuïx al matemàtic francés Édouard Lucas, i és fàcilment demostrador per inducció matemàtica. A pesar de que la successió de Fibonacci consta únicament d'número natural, la seua fòrmula explícita inclou al número irracional $φ$ . De fet, la relació en este número és estreta.

Observant els valors que adopten els dos sumants de la fòrmula (5), es comprova que el segon sumant sempre té un valor absolut menor que $1$ , i va canviant de signe successivament, compensant la part no sancera, irracional, que té el primer sumant, per a que la suma de dos número irracional done un número natural.

Tenint en conte llavors que eixe segon sumant de la fòrmula (5) és sempre un número de valor absolut menor que $0.5$ , (el màxim valor absolut és per a $n = 0$ , aproximadament $0.4472$ ), la fòrmula pot escriure's, eliminant este segon sumant, aixina:

(7) $f_{n} = int (\frac{1}{\sqrt{5}} {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} + \frac{1}{2})$

o lo que és lo mateix, amprant el número áureo

φ

:

(8) $f_{n} = int (\frac{φ^{n}}{\sqrt{5}} + \frac{1}{2})$

Forma matricial

Una atra manera d'obtindre la successió de Fibonacci és considerant el sistema llineal d'equacions

\begin{matrix} f_{n} & = & f_{n} \\ f_{n - 1} + f_{n} & = & f_{n + 1} \end{matrix}}

Este sistema es pot representar per mig de la seua notació matricial com

[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} f_{n - 1} \\ f_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} f_{n} \\ f_{n + 1} \end{matrix}]

Coneixent a $f_{0} = 0$ i $f_{1} = 1$ , en aplicar la fòrmula anterior $n$ voltes s'obté

(9) ${[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]}^{n} [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} f_{n} \\ f_{n + 1} \end{matrix}]$

Els autovalores de la matriu $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$ , són precisament $φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ i $ψ = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ , (el número áureo $φ$ ; i el negatiu del seu invers o conjugat $ψ = \frac{- 1}{φ} = 1 - φ$ ); i els seus autovectores $(ψ, - 1)$ i $(φ, - 1)$ .

Aplicant tècniques de descomposició espectral de la matriu, utilisant les seues autovalores, i la base de les seues autovectores, o diagonalizando la matriu, es pot substituir o simplificar l'operació de potenciació de la matriu, i obtindre, per atres dos métodos, la fòrmula explícita (5) que proporciona el terme general de la successió.

També es verifica

(10) ${[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]}^{n} = [\begin{matrix} f_{n - 1} & f_{n} \\ f_{n} & f_{n + 1} \end{matrix}]$

Esta igualtat pot provar-se per mig d'inducció matemàtica.

Propietats de la successió

Els números de Fibonacci apareixen en numeroses aplicacions de diferents àrees. Per eixemple, en models de la criança de conills o de plantes, en contar el número de cadenes de bits de llongitut $n$ que no tenen zeros consecutius i en una vasta cantitat de contexts diferents. De fet, existix una publicació especialisada cridada Fibonacci Quarterly^[7] dedicada a l'estudi de la successió de Fibonacci i temes afins. Es tracta d'un tribut a l'amplitut en la que els números de Fibonacci apareixen en matemàtica i les seues aplicacions en atres àrees. Algunes de les propietats d'esta successió són les següents:

La raó o cocient entre un terme i l'immediatament anterior varia contínuament, pero s'estabilisa en el número áureo. És dir:

$\lim_{n \to \infty} \frac{f_{n + 1}}{f_{n}} = φ$

Els cocients són oscilantes; és dir, que un cocient és menor al llímit i el següent és major. Els cocients poden ordenar-se en dos successions que s'aproximen asintóticamente per excés i per defecte al valor llímit.

Qualsevol número natural es pot escriure per mig de la suma d'un número llimitat de térmens de la successió de Fibonacci, cada u d'ells distint als demés. Per eixemple, $17 = 13 + 3 + 1$ , $65 = 55 + 8 + 2$ .

Tan sol un terme de cada tres és parell, un de cada quatre és múltiple de 3, un de cada cinc és múltiple de 5, etc. Açò es pot generalisar, de manera que la successió de Fibonacci és periòdica en les congruèncias mòdul $m$ , per a qualsevol $m$ .
La successió pot expressar-se per mig d'una atra fòrmula explícita cridada forma de Binet (de Jacques Binet). Si $α = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ i $β = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ , llavors

f_{n} = \frac{α^{n} - β^{n}}{α - β}

i

f_{n} \approx \frac{α^{n}}{\sqrt{5}}

Cada número de Fibonacci és el promig del terme que es troba dos posicions abans i el terme que es troba una posició despuix. És dir

f_{n} = \frac{f_{n - 2} + f_{n + 1}}{2}

Lo anterior també pot expressar-se aixina: calcular el següent número a un dau és 2 voltes este número menys el número 2 posicions més arrere.

f_{n + 1} = f_{n} * 2 - f_{n - 2}

La suma dels $n$ primers números és igual al número que ocupa la posició $n + 2$ menys un. És dir

f_{0} + f_{1} + f_{2} + \dots + f_{n} = f_{n + 2} - 1

Atres identitats interessants inclouen les següents:

f_{0} - f_{1} + f_{2} - \dots + (- 1)^{n} f_{n} = (- 1)^{n} f_{n - 1} - 1

f_{1} + f_{3} + f_{5} + \dots + f_{2 n - 1} = f_{2 n}

f_{0} + f_{2} + f_{4} + \dots + f_{2 n} = f_{2 n + 1} - 1

f_{0}^{2} + f_{1}^{2} + f_{2}^{2} + \dots + f_{n}^{2} = f_{n} f_{n + 1}

f_{1} f_{2} + f_{2} f_{3} + f_{3} f_{4} + \dots + f_{2 n - 1} f_{2 n} = f_{2 n}^{2}

f_{1} f_{2} + f_{2} f_{3} + f_{3} f_{4} + \dots + f_{2 n} f_{2 n + 1} = f_{2 n + 1}^{2} - 1

Si

k \geq 1

, llavors

f_{n + k} = f_{k} f_{n + 1} + f_{k - 1} f_{n}

per a qualsevol

n \geq 0

f_{n + 1} f_{n - 1} - f_{n}^{2} = (- 1)^{n}

(Identitat de Cassini)

f_{n + 1}^{2} + f_{n}^{2} = f_{2 n + 1}

f_{n + 2}^{2} - f_{n + 1}^{2} = f_{n} f_{n + 3}

f_{n + 2}^{2} - f_{n}^{2} = f_{2 n + 2}

f_{n + 2}^{3} + f_{n + 1}^{3} - f_{n}^{3} = f_{3 n + 3}

f_{n} = φ^{n + 1} - (f_{n + 1}) φ

(en φ = número áureo) o, rebujant f(n+1) i aplicant 1/φ = φ-1:

f_{n + 1} = φ^{n} + (1 - φ) f_{n}

El màxim comú divisor de dos números de Fibonacci és un atre número de Fibonacci. Més específicament

m c d (f_{n}, f_{m}) = f_{m c d (n, m)}

Açò significa que

f_{n}

i

f_{n + 1}

són cosins relatius i que

f_{k}

dividix exactament a

f_{n k}

Els números de Fibonacci apareixen en sumar les diagonals del triàngul de Pascal. És dir que per a qualsevol $n \geq 0$ ,

f_{n + 1} = \sum_{j = 0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (\begin{matrix} n - j \\ j \end{matrix})

i més encara

f_{3 n} = \sum_{j = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ j \end{matrix}) 2^{j} f_{j}

Si $f_{p} = a$ , tal que $a$ és un número primo, llavors $p$ també és un número primo, en una única excepció, $f_{4} = 3$ ; 3 és un número primo, pero 4 no ho és.
La suma infinita dels térmens de la successió $\frac{f_{n}}{1 0^{n}}$ és exactament $\frac{10}{89}$ .
La suma de dèu números Fibonacci consecutius és sempre 11 voltes superior al sèptim número de la série.
L'últim dígit de cada número es repetix periòdicament cada 60 números. Els dos últims, cada 300; a partir d'ahí, es repetixen cada $15 \times 1 0^{n - 1}$ números.
En sorgir la successió de Fibonacci de la suma de les diagonals del triàngul de Pascal. Es pot caracterisar també a $φ$ (el número áureo) en base en estes sumes. Representant el llímit en l'infinit de la raó entre les sumes de les diagonals parells del triàngul $(f_{2 n})$ i les sumes de les diagonals impars $(f_{2 n - 1})$ ; d'esta forma:
$φ = \lim_{n \to + \infty} (\frac{(\binom{2 n - 1}{0}) + (\binom{2 n - 2}{1}) + (\binom{2 n - 3}{2}) + ... + (\binom{n}{n - 1})}{(\binom{2 n - 2}{0}) + (\binom{2 n - 3}{1}) + (\binom{2 n - 4}{2}) + ... + (\binom{n - 1}{n - 1})})$ o $φ \approx \frac{\sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{2 n - 1 - k}{k})}{\sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{2 n - 2 - k}{k})}$ ^[8]

Generalisació

El concepte fonamental de la successió de Fibonacci és que cada element és la suma dels dos anteriors. En este sentit la successió pot expandir-se al conjunt dels número entero com $\dots, - 8, 5, - 3, 2, - 1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$ de manera que la suma de qualssevol dos números consecutius és l'immediat següent. Per a poder definir els índexs negatius de la successió, es rebuja $f_{n - 2}$ de l'equació (3) d'a on s'obté

f_{n - 2} = f_{n} - f_{n - 1}

D'esta manera, $f_{- n} = f_{n}$ si $n$ és impar i $f_{- n} = - f_{n}$ si $n$ és parell.^[9]

La successió es pot expandir al camp dels número real prenent la part real de la fòrmula explícita (equació (6)) quan $n$ és qualsevol número real. La funció resultant

f (x) = \frac{φ^{x} - \cos (π x) φ^{- x}}{\sqrt{5}}

té les mateixes característiques que la successió de Fibonacci:

$f (0) = 0$
$f (1) = 1$
$f (x) = f (x - 1) + f (x - 2)$ per a qualsevol número real $x$

Una successió de Fibonacci generalisada és una successió $g_{0}, g_{1}, g_{2}, \dots$ a on

(11) $g_{n} = g_{n - 1} + g_{n - 2}$ per a $n = 2, 3, 4, 5, \dots$

És dir, cada element d'una successió de Fibonacci generalisada és la suma dels dos anteriors, pero no necessàriament comença en 0 i 1.

Una successió de fibonacci generalisada molt important, és la formada per les potències del número áureo.

φ^{n} = φ^{n - 1} + φ^{n - 2}

.

L'importància d'esta successió residix en el fet de que es pot expandir directament al conjunt dels número real.

φ^{x} = φ^{x - 1} + φ^{x - 2}

.

...i al dels complexos.

φ^{z} = φ^{z - 1} + φ^{z - 2}

.

Una característica notable és que, si $g_{0}, g_{1}, g_{2}, \dots$ és una successió de Fibonacci generalisada, llavors

g_{n} = f_{n - 1} g_{0} + f_{n} g_{1}

Per eixemple, l'equació (11) pot generalisar-se a

{[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]}^{n} [\begin{matrix} g_{0} \\ g_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} g_{n} \\ g_{n + 1} \end{matrix}]

Açò significa que qualsevol càlcul sobre una successió de Fibonacci generalisada es pot efectuar usant números de Fibonacci.

Successió de Lucas

Un eixemple de successió de Fibonacci generalisada és la successió de Lucas, descrita per les equacions

$l_{0} = 2$
$l_{1} = 1$
$l_{n} = l_{n - 1} + l_{n - 2}$ per a $n = 2, 3, 4, 5, \dots$

La successió de Lucas té una gran similitut en la successió de Fibonacci i compartix moltes de les seues característiques. Algunes propietats interessants inclouen:

La proporció entre un número de Lucas i el seu successor immediat s'aproxima al número áureo. És dir

\lim_{n \to \infty} \frac{l_{n + 1}}{l_{n}} = φ

La fòrmula explícita per a la successió de Lucas és

l_{n} = φ^{n} + (- φ)^{- n}

La suma dels primers $n$ números de Lucas és el número que es troba en la posició $n + 2$ menys un. És dir

l_{0} + l_{1} + l_{2} + \dots + l_{n} = l_{n + 2} - 1

Qualsevol fòrmula que continga un número de Lucas pot expressar-se en térmens de números de Fibonacci per mig de l'igualtat

l_{n} = f_{n - 1} + f_{n + 1}

Qualsevol fòrmula que continga un número de Fibonacci pot expressar-se en térmens de números de Lucas per mig de l'igualtat

f_{n} = \frac{l_{n - 1} + l_{n + 1}}{5}

Algoritmes de càlcul

Per a calcular el $n$ -ésimo element de la successió de Fibonacci existixen varis algoritmes (métodos). La seua definició mateixa pot amprar-se com un d'estos algoritmes, ací expressat en pseudocódigo:

Usant tècniques d'anàlisis d'algoritmes és possible demostrar que, a pesar de la seua simplicitat, l'algoritme Plantilla:Algref requerix efectuar $f_{n + 1} - 1$ sumes per a poder trobar el resultat. Ya que la successió $f_{n}$ creix tan ràpit com $φ^{n}$ , llavors l'algoritme està en l'orde de $φ^{n}$ . És dir, que este algoritme és molt llent. Per eixemple, per a calcular $f_{50}$ este algoritme requerix efectuar 20.365.011.073 sumes.

Per a evitar fer tantes operacions, és comuna recórrer a una calculadora i utilisar l'equació (6) del matemàtic Édouard Lucas. No obstant, ya que $φ$ és un número irracional, l'única manera d'utilisar esta fòrmula és amprant una aproximació de $φ$ , obtenint en conseqüència un resultat aproximat pero no exacte. Per eixemple, si s'usa una calculadora de 10 dígits, llavors la fòrmula anterior tira com a resultat $f_{50} = 1.258626903 \times 1 0^{10}$ aun cuando el resultat correcte és $f_{50} = 12586269025$ . Este error es fa cada volta més gran conforme creix $n$ . D'igual forma es pot crear una funció utilisant la fòrmula, molt eficient, $O (\log_{2} (n))$ , encara que cal tindre en conte algunes consideracions, cada llenguage de programació té una forma específica d'eixecució de les funcions matemàtiques, i és provable que es necessite redonejar el número obtingut de l'equació, i en certs casos, si el número és molt gran, pot ser imprecís.

Un atre método més pràctic a la recursión, que evita calcular les mateixes sumes més d'una volta, és la iteración. Considerant un parell $(a, b)$ de números consecutius de la successió de Fibonacci, el següent parell de la successió és $(b, b + a)$ , d'esta manera es divisa un algoritme a on solament es requerix considerar dos números consecutius de la successió de Fibonacci en cada pas. Este método és el que s'usaria normalment per a fer el càlcul en llapis i paper. L'algoritme s'expressa en pseudocódigo com:

Estes versions requerixen efectuar solament $n$ sumes per a calcular $f_{n}$ , la qual cosa significa que els métodos iterativos són considerablement més ràpits que l'algoritme Plantilla:Algref. Per eixemple, en l'algoritme Plantilla:Algref solament es requerix efectuar 50 sumes per a calcular $f_{50}$ .

Un algoritme encara més ràpit es deduïx partint de l'equació (10). Utilisant lleis d'exponents és possible calcular $x^{n}$ com

x^{n} = {\begin{matrix} x & si n = 1 \\ {(x^{\frac{n}{2}})}^{2} & si n es par \\ x \times x^{n - 1} & si n es impar \end{matrix}

D'esta manera es divisa l'algoritme de tipo Dividix i Venceràs a on solament es requeriria fer, aproximadament, $\log_{2} (n)$ multiplicacions matriciales. No obstant, no és necessari almagasenar els quatre valors de cada matriu ya que cada una té la forma

[\begin{matrix} a & b \\ b & a + b \end{matrix}]

D'esta manera, cada matriu queda completament representada pels valors $a$ i $b$ , i el seu quadrat es pot calcular com

{[\begin{matrix} a & b \\ b & a + b \end{matrix}]}^{2} = [\begin{matrix} a^{2} + b^{2} & b (2 a + b) \\ b (2 a + b) & (a + b)^{2} + b^{2} \end{matrix}]

Per lo tant l'algoritme queda com seguix:

A pesar de lo engorroso que semble, este algoritme permet reduir enormement el número d'operacions que es necessiten per a calcular números de Fibonacci molt grans. Per eixemple, per a calcular $f_{100}$ , en lloc de fer les 573.147.844.013.817.084.100 sumes de l'algoritme Plantilla:Algref o les 100 sumes en l'algoritme Plantilla:Algref, el càlcul es reduïx a tan sol 9 multiplicacions matriciales.

La successió de Fibonacci en la naturalea

La seqüència de Fibonacci es troba en múltiples configuracions biològiques,^[10] a on apareixen números consecutius de la successió, com en la distribució de les branques dels arbres, la distribució dels fulls en un talle, els fruts de la pinya tropical,^[11] les flors de la carchofa, en les pinyes de les coníferes,^[12] o en el "arbre genealògic" de les abelles melíferas.^[13] No obstant, també s'han fet moltes invocacions infundades a l'aparició dels números de Fibonacci aprofitant la seua relació en el número áureo en la lliteratura popular.^[14]

Przemysław Prusinkiewicz va alvançar l'idea de considerar la successió de Fibonacci en la naturalea com un grup lliure.^[15]

Un model del patró de distribució de les llavors del girasol va ser propost per H. Vogel en 1979.^[16] Presenta la forma

θ = \frac{2 π}{ϕ^{2}} n, r = c \sqrt{n}

a on n és l'índex de la flor i c és un factor d'escala; llavors les llavors s'alineen segons espirals de Fermat. L'àngul de divergència, d'aproximadament 137.51°, està relacionat en el número áureo. Degut a que el coeficient és un número irracional, cap llavor té cap veïna al mateix àngul respecte al centre, per lo que s'compactar eficientement. Degut a que les aproximacions racionals al número aúreo són de la forma F(j):F(j + 1), els veïns més pròxims al número de llavors n estan tots en n ± F(j) per a cada índex j, que depén de r, la distància al centre. Sol afirmar-se que els girasols i flors similars tenen 55 espirals en una direcció i 89 en l'atra (o alguna atra parella de números adjacents de la successió de Fibonacci), pero açò solament és cert en certs rancs de radi, generalment rars (i per això més notables).^[17]

L'arbre genealògic de les abelles

Els mascles d'una colmena d'abelles tenen un arbre genealògic que complix en esta successió. El fet és que un zángano (1), el mascle de l'abella, no té pare, pero sí que té una mare (1, 1), dos yayos, que són els pares de la reina (1, 1, 2), tres besyayos, ya que el pare de la reina no té pare (1, 1, 2, 3), cinc tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), huit tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) i aixina successivament, complint en la successió de Fibonacci.

Recentment, un anàlisis històric-matemàtic sobre el context de Leonardo de Pisa i la proximitat de la ciutat de Bejaia, una important exportadora de cera en els temps de Leonardo (de la qual prové el nom en francés d'esta ciutat, Bougie, que significa «vés-la»), ha sugerit que varen ser els criadors d'abelles de Bejaia i el coneiximent de l'ascendència de les abelles lo que va inspirar els números de Fibonacci més que el model de reproducció de conills.^[18]

Divisibilidad

Siguen n i m sancers positius. Si el número n és divisible per m llavors el terme n-ésimo de Fibonacci és divisible pel terme m-ésimo de la mateixa successió. En efecte 4 dividix a 12, per tant el terme d'orde quatre, el 3 dividix a 144, terme d'orde 12 en la citada successió.^[19]

Qualsevol que siga el sancer m, entre els $m^{2} - 1$ primers números de Fibonacci hi haurà a lo manco un divisible per m. A modo d'eixemple per a m = 4, entre els primers quinze números estan 8 i 144, números de Fibonacci, divisibles per 4.^[20]

Si k és un número compuesto diferent de 4, llavors el número k-ésimo de Fibonacci és compost.^[21] Per al cas 10, compost distint de 4, el dècim número de Fibonacci 55, és compost.

Els números consecutius de Fibonacci són coprimos entre sí.

La successió de Fibonacci en la cultura popular

És mencionada en obra Branca II (novela), d'Arthur C. Clarke, quan el personage Michael O'toole la descriu com una referència per a memorisar una llarga clau secreta, principalment per la seua facilitat de ser extrapolada.

En el popular anime/mànega Jojo's Bizarre Adventure, específicament en Steel Ball Run, una de les facetes dels protagonistes per a que els seus poders es potencien té que vore en açò (la successió de Fibonacci) i és mencionat com el "Rectàngul dorat" encara que possiblement no tinga res a vore en est. Hui en dia la successió també és utilisada per els qui estudien trading.^[22]
La banda nortamericana de metal progressiu Tool usa esta seqüència per a la seua cançó Lateralus, del àlbum homònim. La successió de números pot vore's tant en el número de sílabes en cada llínea de la lletra i també en el canvi de compàs de la cançó (que va de 9/8 a 8/8 i després a 7/8, sent el número 987 el que està en la posició 17 de la successió). L'espiral creada per la successió també és mencionada en la cançó.
El popular youtuber i streamer Míster Jägger pujaria en 2016 un vídeo humorístic a la plataforma YouTube, usant el seu característic humor extravagant. En el mateix s'explica de manera simplificada la successió en una varietat de personages interpretats pel mateix Míster Jägger.
En el videojoc Balatro de 2024 u dels comodins obtenibles a lo llarc de la partida és el comodí "Fibonacci" que sumixca a la barra del multiplicador +8 de multi (número pel que es multipliquen les fiches al final de la mà) per cada carta jugada en una mà que continga un As (1), 2, 3, 5 i 8 respectivament referenciando l'inici de la successió.

Vore també

Referències

↑ «[1]». Consultat el 2021-11-23 (en és).
↑ (1985).«The Baix-called Fibonacci numbers in ancient and medieval Índia».Història Mathematica.12(3)
229–44.ISSN 0315-0860.doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7.
↑ (1968).«The Art of Computer Programming».Addison Wesley.1
↑ (1998).«Toward a Global Science».Indiana University Press.
↑ (1969).«Pāṇinikālīna Bhāratavarṣa (Hn.). Benarés-I: TheChowkhamba Vidyabhawan».
↑ Handbook of discrete and combinatorial mathematics, secció 3.1.2
↑ Fibonacci Quarterly
↑ ForoRinconMatematico
↑ Triana, Juan. Negafibonacci numbers via matrius. Bulletin of TICMI, 2019, págs. 19-24.
↑ (1996).«Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process».Journal of Theoretical Biology.178(178)
255–74.doi:10.1006/jtbi.1996.0026.Consultat el 27 d'agost de 2015.
↑ (2006).«An Incomplete Education».Ballantine Books.
↑ (1969).«Fibonacci Statistics in Conifers».Fibonacci Quarterly.(7)
525–32.
↑ «Marks for the dona Vinci Code: B–». Maths. Computer Science For Fun: CS4FN.
↑ Simanek, D. «Fibonacci Flim-Flam». LHUP. Archivat des d'el original, el 1 de febrer de 2010.
↑ (1989).«Lindenmayer Systems, Fractals, and Plants (Lecture Notes in Biomathematics)».Springer-Verlag.
↑ (1979).«A better way to construct the sunflower head».Mathematical Biosciences.44(44)
179–89.doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4.
↑ (1990).«The Algorithmic Beauty of Plants».Springer-Verlag.
101–7.
↑ (en anglés)T.C.Scott(2014).MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
↑ Vorobiov: Números de Fibonacci, Editorial Mir, Moscou. Esta secció exigix que la successió escomence en 1 i en 0 (1974)
↑ Vorobiov: Ibídem
↑ Vorobiov: Op. cit
↑ «Perché Fibonacci è così conosciuto i utilizzato dona chi fa Trading?» (en it-it). Trading.it. Consultat el 2024-12-01.

Bibliografia

Kolman, Bernard; Hill, David R. (2006). Àlgebra Llineal, Mèxic: PEARSON EDUCACIÓ. ISBN 970-26-0696-9.
Johnsonbaugh, Richard (2005). Matemàtiques Discretes, Mèxic: PEARSON EDUCACIÓ. ISBN 970-26-0637-3.
Daini, Fabio; Andión, Ricardo (2003). Fibonacci, La Série Infinita, Madrit: PRETINCE HALL. ISBN 84-89660-00-X.
Brassard, G; Bratley, P. (1997). Fonaments de Algoritmia, Madrit: PRETINCE HALL. ISBN 84-89660-00-X.
Kenneth, H. Rosen (2003). Discrete mathematics and its applications, McGraw Hill. ISBN 0-07-123374-1.
Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (1999). Handbook of discrete and combinatorial mathematics, CRC. ISBN 0-8493-0149-1.
N. N. Vorobiov (1974). Números de Fibonacci, Editorial Mir, Moscou, Colecció Lliçons Populars de Matemàtiques. Traducció a l'espanyol de Carlos Vega, catedràtic de Matemàtica Superior i candidat a doctor en ciències físic-matemàtica.
A. I. Markushevich (1974; 1981). Successions recurrents, Editorial Mir, Moscou, Colecció Lliçons Populars de Matemàtiques. Traducció a l'espanyol de Carlos Vega.
Luca Pacioli (1946). La Divina Proporció, Editorial Losada, Buenos Aires.
Hrant Arakelian (2014). Mathematics and History of the Golden Section. Logos, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.)

Enllaços externs

Commons

Archiu:Commons-logo.svg Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre números de Fibonacci.

Fibonacci's Liber Abaci vista prèvia en Google Books (anglés)
Successió de Fibonacci en MathWorld.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Sucesión de Fibonacci» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] «[1]». Consultat el 2021-11-23 (en és).

[HistoriaMathematica-2] (1985).«The Baix-called Fibonacci numbers in ancient and medieval Índia».Història Mathematica.12(3)
229–44.ISSN 0315-0860.doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7.

[knuth-v1-3] (1968).«The Art of Computer Programming».Addison Wesley.1

[GlobalScience-4] (1998).«Toward a Global Science».Indiana University Press.

[5] (1969).«Pāṇinikālīna Bhāratavarṣa (Hn.). Benarés-I: TheChowkhamba Vidyabhawan».

[Handbook-6] Handbook of discrete and combinatorial mathematics, secció 3.1.2

[7] Fibonacci Quarterly

[8] ForoRinconMatematico

[9] Triana, Juan. Negafibonacci numbers via matrius. Bulletin of TICMI, 2019, págs. 19-24.

[S._Douady_and_I._Couder_1996_255–274-10] (1996).«Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process».Journal of Theoretical Biology.178(178)
255–74.doi:10.1006/jtbi.1996.0026.Consultat el 27 d'agost de 2015.

[Jones_2006_544-11] (2006).«An Incomplete Education».Ballantine Books.

[A._Brousseau_1969_525–532-12] (1969).«Fibonacci Statistics in Conifers».Fibonacci Quarterly.(7)
525–32.

[13] «Marks for the dona Vinci Code: B–». Maths. Computer Science For Fun: CS4FN.

[14] Simanek, D. «Fibonacci Flim-Flam». LHUP. Archivat des d'el original, el 1 de febrer de 2010.

[15] (1989).«Lindenmayer Systems, Fractals, and Plants (Lecture Notes in Biomathematics)».Springer-Verlag.

[16] (1979).«A better way to construct the sunflower head».Mathematical Biosciences.44(44)
179–89.doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4.

[17] (1990).«The Algorithmic Beauty of Plants».Springer-Verlag.
101–7.

[18] (en anglés)T.C.Scott(2014).MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.

[19] Vorobiov: Números de Fibonacci, Editorial Mir, Moscou. Esta secció exigix que la successió escomence en 1 i en 0 (1974)

[20] Vorobiov: Ibídem

[21] Vorobiov: Op. cit

[22] «Perché Fibonacci è così conosciuto i utilizzato dona chi fa Trading?» (en it-it). Trading.it. Consultat el 2024-12-01.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]