Successió de Lucas

En matemàtiques, especialment en teoria de números, les successions de Lucas O_n(P,Q) i V_n(P,Q) són certes successions de sancers que satisfan la relació de recurrencia

x_n = P x_n−1 + Q x_n−2

A on P i Q són sancers fixos. Qualsevol atra successió que satisfaça esta relació de recurrencia pot ser representada com combinació llineal de les successions de Lucas O_n(P,Q) i V_n(P,Q).

Entre elles es troben les successions dels números de Lucas, que s'obtenen d'igual manera que la successió de Fibonacci, i abdós estan estretament relacionades, en el canvi de que els primers dos números no són 1, 1, sino 2, 1. La successió de Lucas pren el nom del matemàtic francés Édouard Lucas.

Números de Lucas

Els números de Lucas estan donats per:

• $l_0=2$
• $l_1=1$
• $l_n=l_{n-1}+l_{n-2}$ per a $n=2,3,4,5,\dots$

Tenint certes propietats com: La successió de Lucas té una gran similitut en la successió de Fibonacci i compartix moltes de les seues característiques. Algunes propietats interessants inclouen:

• La proporció entre un número de Lucas i el seu successor immediat s'aproxima al número áureo. És dir

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{l_{n+1}}{l_n}=\phi$

• La fòrmula explícita per a la successió de Lucas és

$l_n={\phi }^n+(-\phi {)}^{-n}$

• La suma dels primers $n$ números de Lucas és el número que es troba en la posició $n+2$ menys un. És dir

$l_0+l_1+l_2+\cdots +l_n=l_{n+2}-1$

• Qualsevol fòrmula que continga un número de Lucas pot expressar-se en térmens de números de Fibonacci per mig de l'igualtat

$l_n=f_{n-1}+f_{n+1}$

• Qualsevol fòrmula que continga un número de Fibonacci pot expressar-se en térmens de números de Lucas per mig de l'igualtat

$f_n=\frac{l_{n-1}+l_{n+1}}{5}$

Relacions de Recurrencia

Tenint en conte dos paràmetros sancers P i Q, la successió de Lucas de la primera classe O_n(P,Q) i de la segona classe V_n(P,Q) Es definixen per les relacions de recurrencia:

$U_0(P,Q)=0,$

$U_1(P,Q)=1,$

$U_n(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\text{ for }n>1,$

i

$V_0(P,Q)=2,$

$V_1(P,Q)=P,$

$V_n(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q)\text{ for }n>1,$

No és difícil mostrar que per a $n>0$,

$U_n(P,Q)=\frac{P\cdot U_{n-1}(P,Q)+V_{n-1}(P,Q)}{2},$

$V_n(P,Q)=\frac{(P^2-4Q)\cdot U_{n-1}(P,Q)+P\cdot V_{n-1}(P,Q)}{2}.$

Referències

• Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).
• Hans Riesel (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed edició, Birkhäuser, pp. 107–121. ISBN 0-8176-3743-5.
• (1996).El. Lett..32

537–538.doi:10.1049/el:19960359.

• Ribenboim, Paulo (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory, Nova York: Springer-Verlag, pp. 1–50. ISBN 0-387-98911-0.
• .

• Arthur T. Benjamin (2003). Proofs that Really Count, Mathematical Association of America, p. 35. ISBN 0-88385-333-7.
• Lucas Sequence en MathWorld.
• «Lucas Sequences in Cryptography».