Série formal de potències

En matemàtica, es diu série formal de potències (a voltes série de potències formal) a una expressió matemàtica que estén les propietats de les series de potències en cossos com el dels reals o el dels complexos, permetent donar sentit formal a diverses notacions que tècnicament carixen de rigurosidad. Les séries formals de potències tenen diverses aplicacions, podent-se mencionar la combinatòria i la teoria de números.

Definició

Informalmente podem pensar que una série de potències formal és una série infinita de térmens de la forma

$S(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$

açò és, un polinomi en infinits térmens, que els a_k són elements d'un cos. Per a formalisar açò, considerem el conjunt de totes les successions infinites d'elements d'un cos $𝕂$, les quals representarem d'esta forma:

$A=(a_0,a_1,a_2,\dots )$

Denotarem al conjunt de totes estes successions en el símbol ${𝕂}^{\mathrm{\infty }}$. Definim la suma d'estes successions de la següent forma:

$(a_0,a_1,a_2,\dots )+(b_0,b_1,b_2,\dots )=(a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,\dots )$

i la seua ponderació (multiplicació per escalar) per un element del cos $𝕂$ com:

$k(a_0,a_1,a_2,\dots )=(k{a}_0,k{a}_1,k{a}_2,\dots )$

Açò li dona al conjunt ${𝕂}^{\mathrm{\infty }}$ una estructura d'espai vectorial sobre $𝕂$, com pot comprovar-se directament. Ara definim el producte entre dos successions de ${𝕂}^{\mathrm{\infty }}$ segons la fòrmula:

$(a_0,a_1,a_2,\dots )\times (b_0,b_1,b_2,\dots )=(a_0{b}_0,a_1{b}_0+a_0{b}_1,a_2{b}_0+a_1{b}_1+a_0{b}_2,\dots )$

en que, si $A\times B=C=(c_0,c_1,c_2,\dots )$, el terme general c_k és:

$c_k=\sum _{m+n=k}{a}_m{b}_n$

Note's que esta definició coincidix en la de producte de Cauchy de dos successions. Aixina mateix, si multipliquem dos polinomis (o dos séries absolutament convergents) en coeficients reals o complexos, veem que els coeficients del resultat seguixen una regla anàloga. Per lo mateix esta definició és coherent des d'un punt de vista intuïtiu.

Es pot demostrar per la definició que l'operació $\times$ en ${𝕂}^{\mathrm{\infty }}$ és conmutativa, associativa i distributiva, lo que implica que $({𝕂}^{\mathrm{\infty }},+,\times )$ és una $𝕂$-àlgebra llineal conmutativa en unitat, és dir, una estructura algebraica que és tant espai vectorial com anell conmutativo en unitat, sent l'element neutre la successió 1 = (1,0,0,...).

Adoptarem, com és habitual, la notació $S^0=1,S^1=S,S^{n+1}=S^n\times S$. Denotarem per x a la successió (0,1,0,0,...). Note's que en el restant d'este artícul la lletra x denotarà a dita successió i no a una variable. Tenim llavors:

etc. Tenim llavors l'igualtat:

$(a_0,a_1,a_2,a_3,\dots )=a_0{x}^0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\dots =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$

Esta és la definició d'una série formal de potències. Note's que el conjunt de les séries de potències per als quals existix un índex k que satisfà que a_n = 0 per a tot n > k és una sub-àlgebra llineal de ${𝕂}^{\mathrm{\infty }}$ isomorfa al conjunt de les funcions polinomis en el cos $𝕂$ (a menos que dit cos siga finito). En general, denotem a abdós conjunts en el símbol $𝕂[x]$ i no fem distinció entre una série formal finita i un polinomi.

Note's que en el concepte de série formal de potències la notació $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$ és solament una expressió convenient i no aludix en cap forma a la convergència o divergència de la série, o a assignar-li un valor. Es reitera que x representa a la successió (0,1,0,0...) i no és una variable. En el cas d'una série finita (polinomi) existix una forma d'assignar-li directament un valor, lo que s'analisarà posteriorment.

Assignació d'un valor a una série de potències formal

A pesar de que el treball en una série de potències formal no involucra de cap forma l'assignar-li un valor a una série $S=S(x)=(a_0,a_1,a_2,\dots )=a_0{x}^0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+\dots$, podem, si és convenient, assignar en certs casos un número a una série de potències S, de la següent forma:

Siga $𝒜$ una $𝕂$-àlgebra llineal en unitat, i.i. un espai vectorial $(𝒜,+,\cdot )$ sobre $𝕂$ en una segona operació $\times$ que li dona a $(𝒜,+,\times )$ una estructura d'anell en unitat. Com abans, donat un element $\alpha \in 𝒜$, denotem ${\alpha }^0=1,{\alpha }^1=\alpha ,{\alpha }^{n+1}=\alpha \times {\alpha }^n$, en que 1 és l'element unitat de $𝒜$ (com és usual). Llavors, donada una série finita o polinomi formal $S(x)=(s_0{x}^0+s_1{x}^1+s_2{x}^2+\dots +s_n{x}^n)\in 𝕂[x]$, se li assigna a cada $\alpha \in 𝒜$ un element de $𝒜$ dau per:

$S(\alpha )=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_k{\alpha }^k=s_0\cdot 1+s_1\alpha +s_2{\alpha }^2+\dots +s_n{\alpha }^n$

Per eixemple, si $P(x)=(1+x^2-3x^4)\in ℝ[x]$, es té que $P(2)=(1+(2{)}^2-3((2{)}^4))=1+4-48=-43$.

Per a assignar d'una forma anàloga un valor a una série de potències formal infinita es deuen introduir els conceptes de llímit i convergència, per ad açò és necessari definir una topología sobre el conjunt $𝒜$. Per eixemple, si considerem la série $S(x)=(1+x+x^2+x^3+\dots )\in {ℝ}^{\mathrm{\infty }}$, podem dir, per eixemple, que:

$S\left(\frac{1}{2}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots =2$

i, en general:

$S(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+\dots =\frac{1}{1-x}$

No obstant, per la forma en que s'ha construït la topología de $ℝ$, açò és, per la definició de llímit en el cos dels reals, l'última igualtat és vàlida solament quan |x| < 1. No obstant, per mig de manipulacions algebraiques o analítiques pot assignar-se-li un valor a atres séries a pesar de que no convergixquen en sentit estricte (vore Série divergent para més detalls), per eixemple, donada la mateixa série de l'eixemple anterior, intentem assignar per mig de métodos de l'àlgebra un valor a S(2):

S(2) = 1 + 2 + 4 + 8 + ... = o

2o = 2·1 + 2·2 + 2·4 + 2·8 + ... = 2 + 4 + 8 + 16 + ... = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...) - 1 = o - 1

2o = o - 1

o = -1

Podem vore que, a pesar de que açò en sentit estricte no és correcte, és un resultat coherent i podem considerar-ho vàlit en cert context en que es requerixca que S(2) tinga un valor.

Vore també

• Série matemàtica