Série divergent

En l'àmbit de la matemàtica es denomina série divergent a una série infinita que no és convergent, per lo tant la seqüència infinita de les sumes parcials de la série no té un llímit.

Si una série convergix, els térmens individuals de la série deuen aproximar-se a zero. Aixina, una série en la que els térmens individuals no s'aproximen a zero, és una série divergent. No obstant, la convergència és una condició més forta, no totes les séries els térmens de les quals tendixen a zero són convergents. El contraeixemple més simple és la série harmònica:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}.$

Si be en la série harmònica els térmens tendixen a zero, la mateixa és divergent. La divergència d'esta série va ser demostrada pel matemàtic medieval Nicole Oresme^{cita requerida}.

A voltes és possible assignar-li un valor a les séries divergents utilisant un método de sumación. Per eixemple, la sumación de Cesàro li assigna a la série divergent de Grandi el valor ½

$1-1+1-1+\cdots =0$.

Propietats dels métodos de sumación

Si A és una funció que li assigna un valor a una successió, és convenient que posseïxca certes propietats si és que es pretén que siga un método de sumación útil.

1. Regularitat. Un método és regular si, toda vez que la successió s convergix a x, A(s) = x.
2. Linealidad. A és llineal si és funcionalmente llineal sobre successions convergents, de forma tal que A(r + s) = A(r) + A(s) i A(ks) = kA(s), per a k un escalar (real o complex)
3. Estabilitat. Si s és una successió que comença en s₀ i s′ és la successió obtinguda en truncar el primer valor, per lo que comença en s₁, llavors A(s) és definida si i solament si A(s´) és definida, i A(s) = A(s′).

La tercera condició és menys important, i existixen alguns métodos destacats, per eixemple el método de sumación de Borel, que no la satisfan.

Una propietat desijable entre dos métodos de sumación A i B és que posseïxquen consistència: A i B són consistents si para tota successió s a la que abdós li assignen un valor, A(s) = B(s). Si dos métodos són consistents, i un suma més séries que l'atre, se sol dir que aquell que suma més séries és més potent.

De totes formes és convenient notar que existixen métodos de sumación poderosos que no obstant no són ni llineals ni regulars, per eixemple les transformacions de successions no llineals com les transformacions de successions tipo Levin i les aproximacions de Padé.

Promig abeliano

Siga λ_n una successió estrictament creixent que tendix cap a ∞, i λ₀ ≥ 0. Siga a_n=s_n+1-s_n una série infinita, la successió corresponent de la qual és s. Suponent que

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\exp (-{\lambda }_{n}x)$

convergix per a tots els número real positius x, llavors el promig abeliano A_λ es definix com

$A_{\lambda }(s)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x).$

Una série d'este tipo és cridada série generalisada de Dirichlet; en l'àmbit de la física, este método és conegut com regularisació del heat-kernel.

Els promijos abelianos són regulars, llineals i estables, pero no sempre resulten ser consistents entre sí. No obstant, existixen alguns casos especials de promijos abelianos que són métodos de sumación molt importants.

Sumación d'Abel

Si λ_n = n, llavors s'obté el método de Sumación d'Abel. A on

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\exp (-nx)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n,$

en z = exp(-x). Per lo tant, el llímit de f(x), quan x tendix a 0 des dels reals positius, és el llímit de la série de potències per a f(z) quan z tendix a 1 per avall des dels reals positius, i la suma d'Abel A(s) es definix com:

$A(s)=\underset{z\to 1^{-}}{\lim }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n.$

La sumación d'Abel en part és interessant perque és consistent en la sumación de Cesàro encara que és més potent que esta; si C_k(s) = a para tot k positiu, llavors A(s) = a. Per lo tant la suma d'Abel és regular, llineal, estable, i consistent en la sumación de Cesàro.

Vore també

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

• Test de divergència

Referències

• Divergent Séries by G. H. Hardy, Oxford, Clarendon Press, 1949.
• Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.
• Padé Approximants by G. A. Baker, Jr. and P. Greus-Morris, Cambridge U.P., 1996.