Test de divergència

En matemàtiques, el test de divergència del terme n-ésimo o test del terme és un test simple per a evaluar la divergència d'una série infinita:

• Si $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\ne 0$, llavors $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ divergix.

Este test per lo general no posseïx nom específic que ho identifique.

Us

A diferència dels criteris de convergència més potents, el test del terme no pot demostrar per sí solament que una série convergix. En particular, l'inversa del test no és verdadera; tot lo que és possible afirmar és que:

• Si $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0,$ llavors $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ pot ser o no convergent.

La série harmònica és un eixemple clàssic d'una série divergent els térmens de la qual tendixen a zero. La série del tipo p,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p},$

ejemplifica els possibles resultats del test:

• Si p ≤ 0, llavors el test del terme indica que la série és divergent.
• Si 0 < p ≤ 1, els resultats del test del terme no són concloents, pero la série és divergent pel test integral de convergència.
• Si 1 < p, els resultats del test del terme no són concloents, pero la série és convergent, pel test integral de convergència.

Demostració

El test per lo general es demostra en la seua forma contrapositiva:

• Si $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ convergix, llavors $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0.$

Manipulació del llímit

Si s_n són les sumes parcials de la série, llavors la suposició de que la série convergix implica que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=s$

per a algun número s. Llavors

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(s_n-s_{n-1})=s-s=0.$

Criteri de Cauchy

La suposició que la série és convergent significa que satisfà el test de convergència de Cauchy: per a cada $\epsilon >0$ existix un número N tal que

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\dots +a_{n+p}|<\epsilon$

és vàlit per a tot n > N i p ≥ 1. Fent p = 1 s'obté la definició inicial

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0.$

Referències

• Brabenec, Robert (2005). Resources for the study of real analysis, MAA. ISBN 0-88385-737-5.
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Functional Analysis: Entering Hilbert Space, World Scientific. ISBN 981-256-563-9.
• Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003). Problems in Mathematical Analysis, American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2050-8.
• Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis, 3i edició, McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Stewart (1999). Calculus: Early transcendentals, 4i edició, Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.
• Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Functional Analysis, Springer. ISBN 1-4020-1616-6.