Sumación de Borel

En matemàtiques, una sumación de Borel és una generalisació de la noció comuna de suma d'una série. En particular proveïx una definició d'una cantitat que en numerosos aspectes es comporta formalment com una suma, encara en el cas de que la série siga divergent.

Definició

Siga

$y=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{y}_k{z}^{-k}$

una série formal de potències en $z$.

Es definix la transformada de Borel $ℬy$ de $y$ per mig de l'expressió:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{y_k}{(k-1)!}{t}^{k-1}.$

Suponent que

1. $ℬy$ té un ràdio de convergència no nul com a funció de $t$
2. $ℬy$ pot ser continuada en forma analítica a una funció $\hat{y}(t)$ sobre tota la recta real positiva
3. $\hat{y}(t)$ com molt creix en forma exponencial a lo llarc de la recta real

Llavors la suma de Borel de $y$ està donada per la transformada de Laplace de $\hat{y}(t)$. L'existència d'esta funció està garantisada per la condició (3) indicada prèviament.

Discussió

La suma de Borel d'una série és la transformada de Laplace de la suma de les anti-transformades de Laplace terme a terme de la série original. Si la transformada de Laplace d'una série infinita fora igual a la suma de la transformada de Laplace terme a terme llavors la suma de Borel seria igual a la suma comuna. La suma de Borel és definida en moltes situacions en les que la suma no està definida. Expressant-ho en térmens plans, permet donar-li un significat a la 'suma' de cert tipo de séries divergents. La sumación de Borel és un eixemple d'un método de moment constant per a sumar séries.