Ràdio de convergència

En matemàtiques, segons el teorema de Cauchy-Hadamard, el radi de convergència d'una série de la forma $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n$, en $a_n,x,x_0\in ℝ$, ve dau per l'expressió:

$r=\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|}}$.

El radi de convergència també pot calcular-se segons l'igualtat

$\frac{1}{r}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$,

si este últim llímit existix o és infinit.

Definició

Si nos llimitem al conjunt dels número real, una série de la forma $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n$, en $a_n,x,x_0\in ℝ$, rep el nom de série de potències centrada en $x_0$. La série convergix absolutament per a un conjunt de valors de $x$ que verifica que $|x-x_0|<r$, a on r és un número real radi de convergència de la série. Esta convergix, puix, a lo manco, per als valors de $x$ pertanyents a l'interval $(x_0-r,$ $x_0+r)$, ya que la convergència per als extrems d'est ha d'estudiar-se aparte, per lo que l'interval real de convergència pot ser també semiabierto o tancat. Si la série convergix solament per a $x_0$, $r=0$. Si ho fa per a qualsevol valor de $x$, $r=$ $\mathrm{\infty }$

Eixemples

Mostrarem el radi de convergència d'alguns desenrolls en séries de potències en els seus respectius radis de convergència sense justificar perqué el radi de convergència és el dau.

Ràdio de convergència finito

La funció $1/(1-x)$ en el seu desenroll en centre 0, o siga, en séries de potències $x-x_0=x-0=x$, té el següent aspecte:

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+x^3+\dots$

(Per al càlcul de la série veja série de Taylor). La seua ràdio de convergència és $r=1$. Això significa que per a calcular si es pren qualsevol valor la distància del qual a el $x_0=0$ és menor que $r=1$, per eixemple el $x=0.25$, llavors al remplazarlo en la série el resultat de calcular la série serà el mateix que remplazarlo en la funció, de fet

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+\dots =\frac{4}{3}$.

(El conte es pot fer per série de potència). I per un atre costat

$\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$.

Pero si es pren un element fora del radi de convergència, per eixemple el $x=2$, al remplazarlo en la série, esta serà divergent (per això el nom de radi de convergència). Efectivament:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n=1+2+2^2+2^3+\dots =\mathrm{\infty }$.

Distància a la singularitat

El càlcul del radi de convergència no és simple. Vejam una funció en dos desenrolls en série en distints centres i analisem les seues ràdios de convergència. La mateixa funció $1/(1-x)$ en el seu desenroll en centre $x_0=3$ té la forma:

$\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3{)}^2}{8}+\frac{(x-3{)}^3}{16}-\dots$

Pero en este cas la seua ràdio de convergència és $r=2$. Notem que la funció $1/(1-x)$ té una singularitat en l'1; i que en els dos cas anteriors el radi de convergència coincidix en la distància del centre a la singularitat: $|0-1|=1$ i $|3-1|=2$. Açò pot dur-nos a pensar que les funcions de variable real que no tinguen singularitats tindran ràdio de convergència infinit, la qual cosa no és aixina. En el següent eixemple:

$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$

Podem vore que no s'anula el denominador per a cap punt i que per tant: $Domf(x)=ℝ$. No obstant, la série es pot expressar com:

$f(x)=\frac{1}{1-(-x^2)}$

i gràcies al desenroll com a série de potències de $\frac{1}{1-x}$ queda: $1-x^2+x^4-x^6\mathrm{...}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{x}^{2k}$. En el criteri del cocient podem comprovar que el radi de convergència és $r=1$. Este resultat té que vore en que les raïls de $x^2+1$ sí existixen en el pla complex i són $x=i$ i en $x=-i$, abdós distància 1 de l'orige, punt en el que desenrollem la série. Més informació en

Ràdio de convergència infinit

Per eixemple, la funció exponencial $e^x$ pot desenrollar-se en séries de potència de $x-0=x$, de fet

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots$

i açò val per a tot real $x$ per això el radi de convergència serà infinit.

Vore també

• Série matemàtica
• Série de Laurent