Teorema de Cauchy-Hadamard

En matemàtica, la Teorema de Cauchy-Hadamard, cridat aixina pels matemàtics francesos Augustin Louis Cauchy i Jacques Hadamard, establint el ràdio de convergència d'una série de potències que aproxima una funció en torno d'un punt a.

Història

Va ser publicat per primera volta en 1821 per Augustin Louis Cauchy, pero va passar relativament desapercebut fins que Jacques Hadamard lo redescubrió. La primera publicació de Hadamard sobre este resultat va ser realisada en 1888; També va ser inclosa com a part de la seua tesis doctoral de 1892.

Enunciat

Considere's la série de potències formal d'una variable complexa z de la forma

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n$

a on $a,c_n\in ℂ.$

Llavors el ràdio de convergència de ƒ en el punt a estarà donat per

$\frac{1}{R}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(|c_n{|}^{1/n})$

a on lim sup denota el llímit superior, el llímit quan n tendix a infinit del suprem d'una successió de valors despuix de la n-ésima posició. Si la seqüència de valors no està acotada, de manera que lim sup siga ∞, llavors la série de potències no convergirà prop de a, mentres que si el lim sup és 0 llavors el radi de convergència serà ∞, la qual cosa significa que la série de potències convergix en tot el pla complex.

Demostració

Sense pèrdua de generalitat supondrem que $a=0$. En primer lloc demostrarem que la série de potències $\sum c_n{z}^n$ convergix per a $|z|<R$, i en segon que esta divergix per a $|z|>R$.

Supongam que $|z|<R$. Siga $t=1/R$ distint de zero o infinit. Per a tot $ϵ>0$, existix només un número finito de $n$ tals que $\sqrt[n]{|c_n|}\ge t+ϵ$. Ara, $|c_n|\le (t+ϵ{)}^n$, aixina que la série $\sum c_n{z}^n$ convergix si $|z|<1/(t+ϵ)$. Açò demostra la primera part.

Siga ara $|z|>R$. Prenent $|c_n|\ge (t-ϵ{)}^n$, veem que la série no pot convergir ya que la seua n-ésimo terme no tendix a 0.