Sumación de Cesàro

Archiu:Maths.png

Diagrames matemàtics .

En el camp del anàlisis matemàtic, la sumación de Cesàro és un método alternatiu d'assignar-li una suma a una série infinita. Si la série convergix en la forma usual a una suma α, llavors la série és sumable Cesàro i posseïx una suma de Cesàro α. La rellevància de la sumación de Cesàro és que és possible que una série que divergix tinga una suma de Cesàro. Va ser inventada per l'analiste italià Ernesto Cesàro (1859-1906).

Definició

Siga {a_n} una successió, sent

$s_k=a_1+\cdots +a_k$

la suma k–ésima dels primers k térmens de la série

$s_k=\sum _{n=1}^k{a}_n$.

La successió {a_n} es denomina sumable Cesàro, en una suma de Cesàro α, si

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{s_1+\cdots +s_n}{n}=\alpha$.

Eixemples

Siga a_n = (-1)ⁿ⁺¹ per a n ≥ 1. És dir, {a_n} és la successió

$1,-1,1,-1,\dots$.

Llavors la successió de sumes parcials {s_n} és

$1,0,1,0,\dots$,

aixina que la série, coneguda com série de Grandi, clarament no convergix. Per un atre costat, els térmens de la seqüència {(s₁ + ... + s_n)/n} són

$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},\frac{4}{7},\frac{4}{8},\dots$,

aixina que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{s_1+\cdots +s_n}{n}=1/2$.

Per tant, la suma de Cesàro de la successió {a_n} és 1/2.

Vore també

• Mija de Cesàro
• Mija de Riesz
• Sumación d'Abel
• Sumación de Borel
• Successions divergents

Referències

Shawyer, Bruce and Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP. ISBN ISBN 0-19-853585-6.