Número coprimo

En matemàtiques, els número coprimo (número primo entre sí o cosins relatius) són aquells número entero $a$ i $b$ l'únic factor dels quals en comú que tenen és 1. Equivalentemente són coprimos, si, i solament si, el seu màxim comú divisor (MCD) és igual a 1. Dos número coprimo no tenen per qué ser cosins absoluts de forma individual.. 14 i 15 són composts, no obstant són coprimos, puix: $\mathrm{mcd}(14,15)=1$

Per eixemple, 6 i 19 són coprimos, pero 6 i 27 no ho són perque abdós són divisibles per 3. L'1 és coprimo respecte de tots els sancers, mentres que 0 solament ho és respecte d'1 i -1.

Un càlcul ràpit per a determinar si dos número entero són coprimos és l'algoritme de Euclides.

Propietats

Bàsiques

• Si dos número entero a i b són primers entre sí, llavors existixen dos sancers x i i / a·x + b·i = 1. (Identitat de Bézout)

• Si a i b són coprimos, ademés a dividix el producte bc, llavors a dividix a c. (Lema de Euclides)

• Els número entero a i b són coprimos quan b té un invers per al producte mòdul a; és dir, existix un número entero i tal que b·i ≡ 1 (mod a). Una conseqüència d'açò és que si a i b són primers entre sí i bm ≡ bn (mod a), llavors m ≡ n (mod a). Dit d'una atra manera, b és simplificable en l'anell Z/nZ dels sancers mòdul a.
• Si els número natural a i b són coprimos , també ho són a², ab, b²*
• Si els número entero positius m i n són coprimos, ho són també m, n, m+n..
• Si a és sancer, a i a+1 són coprimos.

Atres propietats

Archiu:Coprime-lattice.svg

Figura 1. Els números 4 i 9 són coprimos. Per tant, la diagonal del retícul 4 x 9 no interseca en cap dels atres punts del retícul.

• Els dos número entero a i b són primers entre sí, si i solament si, el punt de coordenades (a, b) en un sistema cartesiano de coordenades és visible des de l'orige (0,0) en el sentit en que no hi ha cap punt de coordenades sanceres situat entre l'orige i (a,b) (vore la figura 1).

• La provabilitat de que dos número entero elegits a l'encert siguen coprimos entre sí és igual a 6/π².

• Dos número natural a i b són primers entre sí, si i solament si, els números 2^a-1 i 2^b-1 són primers entre sí. Com una generalisació d'est, se seguix fàcilment de l'algoritme de Euclides en base de n>1:

$\gcd (n^a-1,n^b-1)=n^{\gcd (a,b)}-1.$

• El número d'número natural menors que n i que són coprimos en ell, ho proveïx la funció φ de Euler φ(n).

• Si dos número natural són consecutius llavors són coprimos (restant = 1, per l'Algoritme de Euclides).

Proposició

Tot divisor de la suma de dos quadrats coprimos és igual a la suma de dos quadrats.

Eixemple

41 dividix a 1681 = 9²+40², (1600 i 81 són coprimos) després 41 = 5²+4², sumixca de quadrats.

Generalisació

Dos idealés I i J en un anell conmutativo A sò coprimos si I + J = A. Açò generalisa l'identitat de Bézout. Si I i J són primers entre sí, llavors IJ = I∩J; ademés, si K és un tercer ideal tal que I conté a JK, llavors I conté a K.

En esta definició, dos ideals principals (a) i (b) en l'anell dels número entero Z són primers entre sí, si i solament si, a i b són primers entre sí.

Vore també

• Número primo
• Màxim comú divisor

Notes i referències

Bibliografia

• Eaton, James S. (1872). Treatise on Arithmetic (en anglés).

• Hardy, G.H.; Wright, {{{nom2}}} (2008). An Introduction to the Theory of Numbers, 6ª edició (en anglés), Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5.

• LeVeque, W. J. (1996). Fundamentals of Number Theory (en anglés), Nova York: Dover. ISBN 0-486-68906-9.

• Stark, H. (1978). An Introduction to Number Theory (en anglés), MIT Press. ISBN 0-262-69060-8.

Bibliografia adicional

• Mathematical Gazette.The Mathematical Association.92(523)

66–70.doi:10.1017/S0025557200182555.Consultat el 3 de giner de 2017.