Lema de Euclides

Portada Els elements de Euclides, publicada en 1570 per Sir Henry Billingsley.

El lema de Euclides (del grec λῆμμα) és una generalisació de la proposició 30 del llibre VII d'Elements de Euclides. El lema assegura que:

Açò pot escriure's en notació moderna com:

$\text{Si }n\mid ab\text{y}\mathrm{mcd}(n,a)=1,\text{ entonces }n\mid b$

La proposició 30 original, més coneguda com a primera teorema d'Euclides diu que:

En notació moderna

$\text{Si }p\mid ab\text{, entonces }p\mid a\vee p\mid b$

El lema de Euclides s'utilisa generalment per a demostrar atres teoremes, per eixemple, és usat per a demostrar el teorema fonamental de l'aritmètica.

Demostració

• Suponga's, sense pèrdua de generalitat, que p és coprimo en a, que p dividix a ab, i finalment vore que p dividix b. Per definició, p i a sò coprimos si i solament si el mcd(a, p) = 1; i l'identitat de Bézout assegura que existixen número entero x i i tals que:

$ax+py=1$

• Que p dividixca a ab significa que existix un número entero r tal que pr = ab. Tornant a la primera equació i multiplicant en abdós membres per b, s'obté:

$b(ax+py)=b$

• i, en conseqüència

$bax+bpy=b$

• Sabent que pr = ab, s'obté

$prx+bpy=b$

• traent p com a factor comú, queda:

$p(rx+by)=b$

• com rx+by és un número entero, es conclou que p dividix a b. Q.E.D.

Història

El lema apareix per primera volta com la proposició 30 en el Llibre VII dels Elements de Euclides, i s'inclou en pràcticament tots els llibres que cobrixen la teoria elemental de números.

La generalisació del lema a número entero va aparéixer en el llibre de text de Jean Prestet Nouveaux Elémens de Mathématiques en 1681.

En el tractat de Carl Friedrich Gauss Disquisitiones arithmeticae, l'enunciat del lema és la Proposició 14 de Euclides (Secció 2), que utilisa per a provar l'unicitat del producte de descomposició dels factors primers d'un número entero (Teorema 16), admetent l'existència com "òbvia". A partir d'esta existència i singularitat, deduïx la generalisació dels número primo als sancers. Per esta raó, la generalisació del lema de Euclides a voltes es denomina lema de Gauss, pero alguns autors opinen que este us és incorrecte per la confusió en el lema de Gauss sobre residus quadràtics.

Vore també

• Elements de Euclides
• Identitat de Bézout
• Algoritme de Euclides

Bibliografia

• Trygve, N. (2001). Introduction to Number Theory. New York: Chelsea. ISBN 0-8218-2833-9
• Tom M., Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9