Disquisitiones arithmeticae

Archiu:Disqvisitiones-800.jpg

Disquisitiones arithmeticae

Disquisitiones arithmeticae és un llibre de teoria de números escrit pel matemàtic alemà Carl Friedrich Gauss en 1798 quan tenia 21 anys, i publicat per primera volta en 1801 en Leipzig. En este llibre Gauss compila resultats de teoria de números que havien segut obtinguts per matemàtics tals com Fermat, Euler, Lagrange i Legendre, als que afig importants descobriments de la seua autoria.

Enfocament

Les Disquisitiones cobrixen tant la teoria elemental de números com a parts de l'àrea que hui coneixem com teoria algebraica de números. No obstant, Gauss no va reconéixer explícitament el concepte d'un grup, que és un concepte central en l'àlgebra moderna, per lo que no va amprar dit terme. En efecte, el títul fa referència a la aritmètica. En el prefacio de les Disquisitiones, Gauss descriu l'enfocament del llibre d'esta manera:

Les investigacions contingudes en este volum pertanyen a eixa part de les Matemàtiques que tracta particularment sobre els sancers, a voltes les fraccions, pero sempre s'exclouen els irracionals.

Contingut

El llibre es dividix en sèt seccions, que són:

Secció I. Sobre els números congruents en general

Secció II. Sobre les congruència de primer grau

Secció III. Sobre els residus de potències

Secció IV. Sobre les congruència de segon grau

Secció V. Sobre les formes i equacions indeterminades de segon grau

Secció VI. Aplicacions vàries de les qüestiones precedents

Secció VII. Sobre les equacions que definixen seccions de círculs

Una octava secció devia haver segut publicada en un segon volum, pero mai va vore la llum; trobada entre els manuscrits de Gauss, va ser editada despuix de la seua mort en les seues Obres Completes. En avant, es descriuran els diversos enunciats en la formulació de Gauss aixina com en una formulació actual.

Secció 1

Esta secció, molt curta, introduïx una nova noció i una nova notació l'impacte de la qual en el desenroll de la teoria de números (i particularment l'aritmètica modular) ha segut important, les congruència. El llibre escomença en la seua definició:

Si un número $a$ dividix la diferència dels números $b$ i $c$, $b$ i $c$ es diuen congruents respecte de $a$, de lo contrari, són incongruents. $a$ es diu mòdul; cada u dels números $b$ i $c$, residus de l'atre en el primer cas, i no residus en el segon.

La notació '≡' s'introduïx en la següent secció i l'adopta, indica Gauss, «a causa de la gran analogia que existix entre l'igualtat i la congruència». Aixina, -16 ≡ 9 (mod. 5) expressa el fet de que 5 dividix -16-9. Gauss establix el fet de que tot sancer té un residu mòdul $m$ comprés entre 0 i $m-1$ (art. 3 i 4), despuix de lo que demostra que la noció de congruència és compatible en les operacions usuals de l'aritmètica, dit d'una atra manera, que els sancers modular formen un anell (art. 5 a 9).

Secció 2

Esta secció conté, per a escomençar, alguns resultats sobre els sancers, demostrats en l'ajuda de les congruència: el lema de Euclides apareix en l'artícul 14, la teorema de descomposició en producte de factors primers és l'objecte d'estudi de l'artícul 16. Gauss deduïx numeroses conseqüències, entre les quals un dels lemes cridats 'de Gauss' (artícul 19) i sobretot la resolució de les congruència llineals, és dir, les equacions de primer grau en els residus (art. 24 i 29). Proporciona dos métodos, atribuïts a Euler i Lagrange, per a resoldre estes equacions, observant que conduïxen al mateix algoritme (art. 27 i 28). Els artículs 30, despuix el 33 i els següents, exponen diversos métodos derivats del teorema chinenca del restant; pero este no es determina en un enunciat formalment identificat. L'artícul 37 aborda els sistemes de congruència de primer grau en vàries incògnites. L'última part d'esta secció inclou varis enunciats que seran amprats en avant: les propietats de la funció indicatriz de Euler (artícul 38), en la que Gauss, per una atra part, fixa la notació que hui en dia és corrent; el lema de Gauss sobre els coeficients dels polinomis (art. 42) i el teorema de Lagrange segons el qual una congruència polinòmica mòdul un número primo no pot tindre més raïls que el seu grau (artículs 43-44).

Secció 3

Esta secció està consagrada a l'estudi de progressions geomètriques mòdul un número primo $p$, és dir, les successions $a$, $a^2$, $a^3$, ... mòdul $p$ (per a un sancer $a$ no divisible per $p$).

Els artículs 45 i següents tracten el menuda teorema de Fermat (Fermatii theorema segons Gauss, qui atribuïx la seua primera demostració publicada a Euler); en 52-54 s'analisa el problema de conéixer exactament el número de residus modular d'un orde multiplicativo dau, en l'ajuda de la indicatriz de Euler. En 56, Gauss comenta un intent de Euler d'obtindre una demostració de dit resultat, que no té èxit. Gauss s'interessa per les raïls d'atres residus a banda de l'unitat, enuncia de bestreta l'alternativa sobre el número de solucions (art. 60) i s'interessa per la possibilitat de decidir efectivament esta alternativa sense tindre que recórrer a les taules (art. 64). Tracta per eixemple l'existència de raïls quadrades de -1 mòdul un número primo. El problema de calcular efectivament raïls primitives (problema del logaritmo discret) ocupa els artículs següents. Gauss termina per declarar que «la majoria dels métodos que servixen per a trobar les raïls primitives es basen en bona part en el tanteig» (art. 73). Enuncia una versió molt general del teorema de Wilson (art. 75) la publicació del qual atribuïx a Waring (art. 76). Gauss s'interessa també per les sumes geomètriques (art. 79) i per les sumes de raïls primitives (art. 81).

Gauss considera el cas d'un mòdul compost, a través del teorema de Fermat-Euler (art. 83). Finalment, s'interessa de nou per les raïls de l'unitat (art. 85 i 89) i proporciona un criteri per a l'existència de raïls primitives (art. 92), és dir, per a que el grup de les unitats dels anells considerats siga cíclico.

Secció 4

Gauss comença mostrant que hi ha tants residus quadràtics («residua quadratica») com de no residus quadràtics mòdul un número primo (art. 94 à 97); propon varis métodos per a aplegar al resultat. Posteriorment, tracta la qüestió d'un mòdul compost (art. 100 à 106). Despuix planteja la qüestió de, donat un número entero, trobar tots els mòduls per als quals eixe número és residu quadràtic. Per a -1 (art. 108 a 111), la resposta ya es troba en la partix precedent (art. 64); es proporcionen dos demostracions adicionals, una de les quals es basa en la teorema de Wilson. Despuix Gauss s'ocupa dels casos de 2 i -2 (art. 112 a 116), 3 i -3 (art. 117 a 120) i 5 i -5 (art. 121 a 124).

Quedant palés la necessitat d'un enfocament més sistemàtic, Gauss enuncia en 131 lo que crida «teorema fonamental»:

Tot número que, pres positiu, és residu o no residu de p, tindrà, per residu o no residu, +p o -p, segons siga p de la forma 4n+1 o 4n+3.

Es reconeix ací la llei de reciprocitat quadràtica, i Gauss proporciona la primera demostració d'este resultat, que es basa en una recurrencia. Gauss distinguix huit casos (art. 132 a 144). Crea un algoritme per a determinar si un número és residu quadràtic per a un mòdul donat, basant-se en el coneiximent de la factorización en producte de cosins (art. 146).

Secció 5

Gauss estudia en primer lloc les formes quadràtiques sanceres en dos incògnites. La seua primera teorema (art. 154 a 156) proporciona una condició necessària per al discriminante (al que Gauss denomina determinant) d'una forma quadràtica per a que represente un sancer dau. A continuació, considera lo que es pot descriure en llenguage modern com el problema de determinar les classes del conjunt de les formes quadràtiques baix l'acció del grup ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$, i de forma més general per la relació d'orde induïda per canvis de coordenades en ${ℳ}_2(\mathbb{Z})$, no necessàriament invertibles, pero en determinant no nul.

Rellevància

Abans de la publicació de les Disquisitiones, la teoria de números era essencialment una colecció de teoremes i conjectura aïllats uns d'uns atres. Gauss va reunir el treball dels seus predecessors en el seu propi treball i ho compiló en un marc comú, va reblir buits, va corregir demostracions, faltes de rigor i va estendre el tema de l'estudi de numeroses formes.

L'estructura llògica de les Disquisitiones (enunciat d'un teorema seguit pel seu demostració i a la seua volta per corolaris) va establir un format estàndar per a texts posteriors. Encara reconeixent l'importància fonamental de les demostracions llògiques, Gauss també ilustra moltes teoremes en eixemples numèrics.

Les Disquisitiones varen ser el punt de partida per al treball d'atres matemàtics europeus de el XIX tals com Kummer, Dirichlet i Dedekind. Moltes de les anotacions de Gauss són efectivament anuncis de futures investigacions seues, algunes de les quals varen permanéixer sense publicar. Varen deure resultar particularment crípticas a ulls dels seus contemporàneus, encara que actualment es poden entendre com l'inici de les teories de funcions L i multiplicació complexa, en particular.