Menuda teorema de Fermat

Archiu:Fermatp.PNG

Menuda teorema de Fermat

Archiu:Pierre de Fermat.jpg

Pierre de Fermat.

La menuda teorema de Fermat és un dels teoremas clàssics de teoria de números relacionat en la divisibilidad. Es formula de la següent manera:

Encara que són equivalents, la teorema sol ser presentat d'esta atra forma:

Açò vol dir que, si s'eleva un número a a la p-ésima potencia i al resultat se li resta $a$, lo que queda és divisible per $p$ (vore aritmètica modular). Per tant, a cada u dels números $p$ que complix esta condició, se li denomina: raïl primitiva de $a$. El seu interés principal està en la seua aplicació al problema de la primalidad i en criptografia.

Esta teorema no té res a vore en el llegendari última teorema de Fermat, que va anar solament una conjectura durant 350 anys i finalment va ser demostrat per Andrew Wiles en 1995.

Història

La civilisació chinenca sembla que va ser la primera cultura en estar interessada en l'aritmètica modular. Existix una hipòtesis, documentada per Joseph Needham, segons la qual els números de la forma 2^p − 2 varen ser estudiats per esta civilisació.

Aixina que, matemàtics chinencs varen formular la hipòtesis (a voltes coneguda com hipòtesis chinenca) de que p és primer si i solament si 2^p ≡ 2 (mod p) (a on el símbol ≡ significa congruència segons el mòdul indicat). És veritat que, si p és primer, llavors 2^p ≡ 2 (mod p) (est és un cas especial de la chicoteta teorema de Fermat), pero el recíproc (si 2^p ≡ 2 (mod p), llavors p és primer) no ho és, per lo que l'hipòtesis és falsa.

Es creu àmpliament que l'hipòtesis chinenca va ser desenrollada 2000 anys abans del treball de Fermat en el XVII. Encara que la hipòtesis siga parcialment incorrecta, és notable que puga haver segut coneguda pels matemàtics de l'antiguetat. Alguns, no obstant, sostenen que la creència de que esta hipòtesis fora coneguda fa tant temps és frut d'un error de comprensió, i que es va desenrollar realment en 1872. Per a més informació sobre este assunt, consulte's Ribenboim, 1995.

Al voltant de 1636, Pierre de Fermat va enunciar la teorema. Apareix en una de les seues cartes al seu confident Frénicle de Bessy, datada el 18 d'octubre de 1640, en el següent text: p dividix a a^p-1 - 1 quan p siga primer i a siga coprimo en p.

Encara que actualment ho conegam com a menuda teorema de Fermat, lo cert és que fins a el XX va ser conegut com a teorema de Fermat, com arreplega per eixemple Carl Friedrich Gauss en el seu llibre Disquisitiones arithmeticae. El terme menut teorema de Fermat, tal com ho coneixem actualment, va ser usat per primera volta pel matemàtic alemà Kurt Hensel en 1913 en el seu llibre Zahlentheorie.

Demostració

Artícul principal → Demostracions de la chicoteta teorema de Fermat.

Fermat va establir tal resultat en una carta a Frénicle de Bessy, pero com era habitual en ell, va ometre la prova del mateix:

Archiu:Leonhard Euler 2.jpg

Leonhard Euler donaria la primera demostració formal del teorema en 1736.

La primera demostració publicada es deu a Leonhard Euler en 1736 en un artícul titulat Theorematum Quorundam ad Numeros Primers Spectantium Demonstratio. Donaria atres dos demostracions més a lo llarc de la seua vida, encara que era la primera de totes elles la mateixa que hi havia en un manuscrit personal de Gottfried Leibniz, escrit sobre 1683 i que mai va aplegar a publicar. Gauss publicaria una atra prova més en el seu llibre Disquisitiones arithmeticae en 1801.

La prova original d'Euler (i Leibniz) és senzilla, en térmens de comprensió llògica, ya que solament utilisa métodos elementals que una persona en nocions bàsiques d'àlgebra pot entendre. El seu demostració es basa en el principi d'inducció.

Per a la demostració també s'utilisa la propietat de que si p és un número primo, llavors el coeficient binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{n})$ és divisible per p, per a tot n, tal que 1≤ n<p. Açò és aixina posat que el coeficient binomial es definix com:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{n})=\frac{p!}{(p-n)!\cdot n!}$

A on el signe ! correspon al factorial d'un número, que indica la multiplicació de tots els número natural menors o iguals a dit número, per eixemple, p! = p·(p-1)·(p-2)·...·2·1. ya que en el denominador, els factorialés dels números involucren números que són menors que el número primo p, estos no poden contindre p ni dividir al número primo p del numerador, aixina que, el coeficient és divisible per p.

Dit açò, la demostració consistix en els següents passos:

• Supongam que $p\mid n^p-n$

• Utilisem el binomi de Newton per a expandir la potència (n + 1)^p:

$(n+1{)}^p=\sum _{k=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})n^{p-k}$

• Agrupant factors i reordenando l'identitat:

$(n+1{)}^p-(n+1)=n^p-n+\sum _{k=1}^{p-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})n^{p-k}$

• Per hipòtesis, hem supost que n^p - n és divisible per p, i ya que tots els térmens del sumatorio del membre de la dreta són divisibles per p, tenim que p dividix a (n + 1)^p - (n + 1).

• Ara be, 1^p - 1 és divisible per p, per lo tant 2^p - 2 també és divisible per p, i aixina successivament.

Q.E.D.

Vore també

• Aritmètica modular
• Teorema de Euler
• Demostracions de la chicoteta teorema de Fermat
• Teorema de Carmichael

Bibliografia

• Gauss, Carl Friedrich (1965). Disquisitiones Arithmeticae, tr. Arthur A. Clarke, Yale University Press. ISBN 0-300-09473-6.
• Ribenboim, Paul (1995). The New Book of Prime Number Records, 3.ª edició, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94457-5.