Última teorema de Fermat

Archiu:Fermat last teorem.jpg

Última teorema de Fermat

Archiu:Pierre de Fermat.jpg

Pierre de Fermat.

En teoria de números, la última teorema de Fermat, o teorema de Fermat-Wiles, és un de les teoremes més famoses en l'història de les matemàticas. Utilisant la notació moderna, es pot enunciar de la següent manera:

És important recalcar que han de ser positius, ya que si poguera ser algun d'ells negatiu, no és difícil trobar solucions no trivials per a algun cas en el que n és major que 2. Per eixemple si n anara qualsevol número impar, les ternes de la forma (a, -a, 0) en a un número entero positiu, són solució.

Este teorema va ser conjecturado per Pierre de Fermat en 1637, pero no va ser demostrat fins a 1995 per Andrew Wiles ajudat pel matemàtic Richard Taylor. La busca d'una demostració va estimular el desenroll de la teoria algebraica de números en el XIX i la demostració del teorema de la modularidad en el XX.

La proposició va ser enunciada per primera volta com a teorema per Pierre de Fermat cap a 1637 en el marge d'una còpia de Arithmetica. Fermat va afegir que tenia una demostració que era massa gran per a cabre en el marge. Encara que atres afirmacions de Fermat sense demostració varen ser posteriorment demostrades per uns atres i acreditades com a teoremes de Fermat (per eixemple, la teorema de Fermat sobre sumes de dos quadrats), l'Última Teorema de Fermat es va resistir a la demostració, lo que va dur a dubtar de que Fermat tinguera alguna volta una demostració correcta. En conseqüència, la proposició va passar a denominar-se conjectura en lloc de teorema. Despuix de 358 anys d'esforços per part dels matemàtics, la primera prova exitosa va ser donada a conéixer en 1994 per Andrew Wiles i publicada formalment en 1995. Va ser descrita com un "alvanç sorprenent" en la citació per al Premi Abel de Wiles en 2016. També va demostrar gran part de la conjectura de Taniyama-Shimura, posteriorment coneguda com teorema de la modularidad, i va obrir enfocaments completament nous a atres numerosos problemes i tècniques d'elevació de la modularidad matemàticament potents.

El problema sense resoldre va estimular el desenroll de la teoria algebraica de números en els sigles XIX i XX. Es troba entre les teoremes més notables de la història de les matemàtiques i abans de la seua demostració figurava en el Llibre Guinness dels Récorts com el "problema matemàtic més difícil", en part perque la teorema té el major número de demostracions fallanques.

Antecedents

Orígens pitagórico

l'equació de Pitágoras, x² + i² = z², té un número infinit de solucions sanceres positives per a x, i i z; estes solucions es coneixen com triples pitagórico (en l'eixemple més simple 3,4,5). Cap a 1637, Fermat va escriure en el marge d'un llibre que l'equació més general aⁿ + bⁿ = cⁿ no tenia solucions en sancers positius si n és un sancer major que 2. Encara que va afirmar tindre una prova general de la seua conjectura, Fermat no va deixar detalls de la seua prova, i mai s'ha trobat cap prova seua. La seua afirmació va ser descoberta uns 30 anys més vesprada, despuix de la seua mort. Esta afirmació, que va passar a conéixer-se com L'última teorema de Fermat, va quedar sense resoldre durant els tres sigles i mig següents.

En el temps, l'afirmació es va convertir en un dels problemes sense resoldre més notables de les matemàtiques. Els intents de demostrar-ho varen impulsar un desenroll substancial de la teoria de números, i en el temps l'Última Teorema de Fermat va guanyar prominència com problema sense resoldre en matemàtiques.

Desenrolls posteriors i solució

El cas especial n = 4, demostrat pel propi Fermat, és suficient per a establir que si la teorema és falsa per a algun exponent n que no siga un número primo, també deu ser fals per a algun n més menut, per lo que només els valors primers de n necessiten més investigació. Durant els dos sigles següents (1637-1839), la conjectura es va demostrar només per als cosins 3, 5 i 7, encara que Sophie Germain va innovar i va demostrar una aproximació que era rellevant per a tota una classe de cosins. A mitan del sigle XIX, Ernst Kummer va ampliar este enfocament i va demostrar la teorema per a tots els cosins regulars, deixant els cosins irregulars per a ser analisats individualment. Basant-se en el treball de Kummer i utilisant sofisticats estudis informàtics, atres matemàtics varen ser capaços d'ampliar la demostració per a cobrir tots els exponents primers fins a quatre millons, pero una demostració per a tots els exponents era inaccessible (lo que significa que els matemàtics generalment consideraven una demostració impossible, excessivament difícil o inalcançable en els coneiximents actuals).

Per separat, al voltant de 1955, els matemàtics japonesos Goro Shimura i Yutaka Taniyama varen sospitar que podria existir un víncul entre les curves elíptiques i les formes modular, dos àrees completament diferents de les matemàtiques. Coneguda en el seu moment com conjectura de Taniyama-Shimura (posteriorment com a teorema de la modularidad), es tractava d'una conjectura independent, sense conexió aparent en l'última teorema de Fermat. En general, es considerava significativa i important per sí mateixa, pero (de la mateixa manera que la teorema de Fermat) es considerava completament inaccessible a la demostració.

En 1984, Gerhard Frey es percató d'una aparent relació entre estos dos problemes no relacionats ni resolts fins a llavors. Frey va donar un esbós que sugeria que açò podia demostrar-se. La prova completa de que els dos problemes estaven estretament relacionats va ser realisada en 1986 per Ken Ribet, basant-se en una prova parcial de Jean-Pierre Serre, que va demostrar tota la part menys una coneguda com la "conjectura épsilon" (vore: Teorema de Ribet i curva de Frey). Estos treballs de Frey, Serre i Ribet varen demostrar que si es podia demostrar la conjectura de Taniyama-Shimura para a lo manco la classe semiestable de curves elíptiques, s'obtindria automàticament una demostració de l'Última Teorema de Fermat. La conexió es descriu a continuació: qualsevol solució que poguera contradir l'Última Teorema de Fermat també podria utilisar-se per a contradir la conjectura Taniyama-Shimura. Aixina que, si la teorema de la modularidad fora cert, per definició no podria existir cap solució que contradiguera l'Última Teorema de Fermat, que per tant també tindria que ser cert.

Encara que abdós problemes eren desalentadores i en el seu moment es varen considerar "completament inaccessibles" per a la seua demostració, esta va ser la primera sugerència d'una ruta per la que l'Última Teorema de Fermat podria estendre's i demostrar-se para tots els números, no només per a alguns. A diferència de l'última teorema de Fermat, la conjectura Taniyama-Shimura era un àrea d'investigació activa important i es considerava més a l'alcanç de les matemàtiques contemporànees. No obstant, l'opinió general era que açò simplement demostrava la impracticabilidad de demostrar la conjectura Taniyama-Shimura. La reacció citada del matemàtic John Coates va ser comú:

"Yo mateixa era molt escèptic sobre que el bell víncul entre l'Última Teorema de Fermat i la conjectura Taniyama-Shimura conduïra realment a alguna cosa, perque dec confessar que no creïa que la conjectura Taniyama-Shimura fora accessible a la demostració. Per molt bonico que fora el problema, semblava impossible de demostrar. Dec confessar que vaig pensar que provablement no ho voria demostrat en tota la meua vida".

En enterar-se de que Ribet havia demostrat que la conexió de Frey era correcta, el matemàtic anglés Andrew Wiles, que havia sentit fascinació durant la seua infància per l'Última Teorema de Fermat i tenia experiència treballant en curves elíptiques i camps relacionats, va decidir intentar demostrar la conjectura Taniyama-Shimura com una forma de demostrar l'Última Teorema de Fermat. En 1993, despuix de sis anys treballant en secret en el problema, Wiles va conseguir demostrar una part suficient de la conjectura per a demostrar l'Última Teorema de Fermat. El document de Wiles era enorme en tamany i alcanç. Es va descobrir un fallo en una part del seu artícul original durant la revisió per parells i va ser necessari un any més de colaboració en un antic alumne, Richard Taylor, per a resoldre-ho. Com a resultat, la demostració final de 1995 va ser acompanyada d'un artícul conjunt més chicotet que mostrava que els passos fixos eren vàlits. El guany de Wiles es va divulgar àmpliament en la prensa popular i es va popularisar en llibres i programes de televisió. Les partixes restants de la conjectura Taniyama-Shimura-Weil, ara demostrades i conegudes com la teorema de la modularidad, varen ser demostrades posteriorment per atres matemàtics, que es varen basar en el treball de Wiles entre 1996 i 2001. Per la seua demostració, Wiles va ser honrat i va rebre numerosos premis, entre ells el Premi Abel de 2016.

Introducció històrica

Archiu:Diophantus- caps block 11 Fermat.jpg

Arithmetica de Diofanto. L'edició de 1670 inclou els comentaris de Fermat; el que es troba baix el problema VIII és conegut com la seua «última teorema».

Pierre de Fermat posseïa una edició bilingüe (grec i llatí) de la Arithmetica de Diofanto, traduïda per Claude Gaspar Bachet. Fermat va escriure un comentari, de fet, un acertijo, en el marge de cada problema, i un per un han segut resolts per personalitats com Leibniz, Newton, etc. Solament va quedar sense resoldre el acertijo que va propondre baix del problema VIII, que tracta sobre escriure un número quadrat com sumixca done dos quadrats (és dir, trobar ternes pitagórico). Ahí, Fermat va escriure:

Història de la demostració de la teorema

Pierre de Fermat

El primer matemàtic que va conseguir alvançar sobre esta teorema va ser el propi Fermat, que va demostrar el cas n=4 usant la tècnica del descens infinit, una variant del principi d'inducció.

Leonhard Euler

Leonhard Euler va demostrar el cas n = 3. El 4 d'agost de 1753, Euler va escriure a Goldbach reclamant tindre una demostració per al cas n = 3. En Àlgebra (1770) es va trobar una falàcia en la demostració de Euler. Corregir-la directament era massa difícil, pero uns atres aportes anteriors de Euler permetien trobar una solució correcta per mijos més simples. Per açò es va considerar que Euler havia demostrat eixe cas. De l'anàlisis de la demostració fallanca de Euler va sorgir l'evidència de que certs conjunts d'número complejo no es comportaven d'igual manera que els sancers.

Sophie Germain

El següent major pas va ser fet per la matemàtica Sophie Germain. Un cas especial diu que si p i 2p + 1 són abdós primers, llavors l'expressió de la conjectura de Fermat para la potencia p implica que un dels x, i o z és divisible per p. En conseqüència la conjectura es dividix en dos casos:

• Cas 1: cap dels x, i, z és divisible per p;

Cas 2: un i solament un de x, i, z és divisible per p.

Sophie Germain va provar el cas 1 per a tot p menor que 100 i Adrien-Marie Legendre va estendre els seus métodos a tots els números menors que 197. Ací es va trobar que el cas 2 no estava demostrat ni tan sols per a p = 5, per lo que va ser evident que era en el cas 2 en el que calia concentrar-se. Este cas també es dividia entre varis casos possibles.

Ernst Kummer i uns atres

Cronologia

Any	Acontenyiment
1665	Mor Fermat sense deixar constància de la seua demostració.
1753	Leonhard Euler va demostrar el cas $n=3$.
1825	Adrien-Marie Legendre va demostrar el cas per a $n=5$.
1839	Lamé va demostrar el cas n=7.
1843	Ernst Kummer afirma haver demostrat la teorema pero Dirichlet troba un error.
1995	Andrew Wiles publica la demostració de la teorema.

No va ser fins a 1825 quan Peter Gustav Lejeune Dirichlet i Legendre varen generalisar per a n=5 la demostració de Euler. Lamé va demostrar el cas n=7 en 1839.

Entre 1844 i 1846 Ernst Kummer va demostrar que la factorización no única podia ser salvada per mig de l'introducció de número complejo ideals. Un any despuix Kummer afirma que el número 37 no és un primer regular (Vore: Números de Bernoulli). Després es troba que tampoc 59 i 67 lo són. Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwänger, Vandiver i uns atres estenen l'investigació a números més grans. En 1915 Jensen demostra que existixen infinits cosins irregulars. L'investigació s'estanca per esta via de la divisibilidad, a pesar de que es conseguixen comprovacions per a n menor o igual a 4 000 000.

Andrew Wiles

En l'any 1995 el matemàtic Andrew Wiles, en un artícul de 98 pàgines publicat en Annals of mathematics, va demostrar el cas semiestable del teorema de Taniyama-Shimura, anteriorment una conjectura, que engarzar les formes modular i les curves elíptiques. D'este treball, combinat en idees de Frey i en el teorema de Ribet, es desprén la demostració de l'última teorema de Fermat. Encara que una versió anterior (no publicada) del treball de Wiles contenia un error, est va poder ser corregit en la versió publicada, que consta de dos artículs, el segon en colaboració en el matemàtic Richard Taylor. En estos treballs per primera volta s'establixen resultats de modularidad a partir de modularidad residual, per la qual cosa els resultats del tipo dels provats per Wiles i Taylor són denominats «teoremes d'alçament modular». En l'actualitat, resultats d'este tipo, molt més generals i poderosos, han segut provats per varis matemàtics: ademés de generalisacions provades per Wiles en colaboració en C. Skinner i de Taylor en colaboració en M. Harris, els més generals en l'actualitat es deuen a Mark Kisin. En el treball de 1995 de Wiles es va obrir una nova via, pràcticament una nova àrea: la de la modularidad. En estes tècniques, de les que este treball va ser pioner, s'han resolt més recentment atres importants conjectura, com la conjectura de Serre i la de Sato-Tate. Curiosament, la resolució dels primers casos de la conjectura de Serre (treballs de Khare, Wintenberger i Dieulefait), com observara el propi Serre en formular la conjectura, permet una nova demostració de l'última teorema de Fermat.

Els treballs de Wiles per lo tant tenen una importància que transcendix àmpliament la seua aplicació a l'última teorema de Fermat: es consideren centrals en la geometria aritmètica moderna i s'espera que seguixquen jugant un rol vital en la demostració de resultats de modularidad que s'emmarquen en el programa de Langlands.

Vore també

• Pierre de Fermat
• Menuda teorema de Fermat
• Número primo de Fermat
• Espiral de Fermat
• Conjectura de Beal

Bibliografia

• L'última teorema de Fermat. Simon Singh. ISBN 958-04-4865-5
• L'enigma de Fermat. Simon Singh. ISBN 978-84-08-06572-2