Teorema de Fermat sobre la suma de dos quadrats

Archiu:Pierre de Fermat3.jpg

Pierre de Fermat

En matemàtiques i, més concretament, en teoria de números, la teorema de Fermat sobre la suma de dos quadrats enuncia les condicions per a que un número entero siga la suma de dos quadrats de sancers, i precisa de quantes maneres diferents ho pot ser. Per eixemple, segons esta teorema, un número primo impar és la suma de dos quadrats de sancers si i només si el restant del seu divisió euclídea entre 4 és 1; en este cas, els quadrats queden determinats de forma única. Es pot verificar sobre 17 (=4·4+1) o 97 (=4·24+1), abdós primers, que els dos es poden expressar d'una única forma com sumixca de dos quadrats ($17=1^2+4^2$ i $97=9^2+4^2$); també, que atres número primo com 7 (=4·1+3) o 31 (=4·7+3) no es poden expressar com sumixca de dos quadrats. Este resultat a voltes de flama simplement teorema dels dos quadrats o també teorema de Fermat de Nadal. En concret, el teorema diu lo següent:

És dir, $p=x^2+y^2$, a on $x$ i $y$ són número entero si $p=2$ o, si no, si $p=4k+1$ per a algun $k$ sancer, o escrit en notació moderna, $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ (vore aritmètica modular).

No obstant, com es veu més alvance en este mateix artícul, es poden fer generalisacions a qualsevol número entero i no solament número primo.

La teorema és també conegut com a lema de Thue, pel matemàtic noruec Axel Thue.

La teorema s'inscriu en la llarga història de la representació de números com suma quadrats, que es remonta a l'antiguetat. Va ser expressat de forma explícita per Pierre de Fermat (1601-1665) en el XVII, pero la primera demostració publicada coneguda és de Leonhard Euler, un sigle més vesprada. La seua demostració, no obstant, no tanca les preguntes. En el transcurs dels sigles posteriors es varen propondre noves demostracions i vàries generalisacions. Estes contribucions han tingut un paper important en el desenroll de la branca de les matemàtiques cridada teoria algebraica de números.

Semblat a moltes equacions diofánticas, és dir, equacions a on els coeficients i les solucions buscades són número entero o racionals, la simplicitat de l'enunciat amaga una dificultat real en la seua demostració. Algunes de les proves propostes han ajudat a la posada a punt de ferramentes a voltes sofisticades, com les curves elíptiques o la geometria dels números, relacionant aixina la teoria de números elemental en atres branques de les matemàtiques.

Presentació de la teorema

El cas dels número primo

Certs número primo són suma de dos quadrats de sancers. Clar és el cas de el $2=1^2+1^2$ i, igualment, de el $5=1^2+2^2$. No obstant, uns atres, com el 3 i el 7, no verifiquen esta propietat, com es pot comprovar veent tots els possibles casos. Una prova sistemàtica fins a 40 conclou que:

$5=1^2+2^2,13=2^2+3^2,17=1^2+4^2,29=2^2+5^2,37=1^2+6^2,$

pero que, no obstant, 3, 7, 11, 19, 23 i 31 no es poden descompondre d'esta forma. La teorema dona un criteri general que permet discriminar estes dos situacions a priori:

Dir que $p$ és congruent en 1 mòdul 4 significa simplement que el restant de la divisió euclídea de $p$ entre 4 és 1, o també que el número $p$ és de la forma $4k+1$ per a un cert sancer $k$. Este vocabulari s'explica en l'artícul Congruència (teoria de números).

El cas general

Si s'escomencen a escriure els sancers inferiors a 50 (independentment de que siguen primers o no) sobre quatre llínees, en funció del restant de la seua divisió entre quatre (0, 1, 2 o 3), s'obté:

$\text{Resto 0: }4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48$

$\text{Resto 1: }1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49$

$\text{Resto }2\text{: }2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50$

$\text{Resto }3\text{: }3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47$

Els sancers escrits en vert designen aquells que es poden escriure com sumixca de dos quadrats perfectes; els atres s'han escrit en roig. Podem observar que la quarta llínea és tota roja, és dir, cap d'eixos sancers es pot escriure com sumixca de dos quadrats perfectes. Pero observem que el producte d'un número par de factors de la forma $4k+3$ és de la forma $4k+1$, puix, calculant mòdul 4, $(4k+3{)}^{2n}\equiv 3^{2n}=9^n\equiv 1^n=1(\mathrm{mod}4)$ i estan en la segona llínea. Els números de la primera i de la tercera llínea són tots parells. Per tant, l'última llínea no conté més que números que tenen un número impar de factors primers de la forma $4k+3$. Açò dona una pista per a comprendre la situació general.

El cas d'un número $n$ qualsevol depén dels seus factors primers. Es té que:

Un sancer és suma de dos quadrats si i només si cada u dels seus factors primers de la forma $4k+3$ intervé en una potencia parell.

Aixina, 30 no pot ser sumixca de quadrats, ya que $30=2\cdot 3\cdot 5$, i 3, que és de la forma $4k+3$ en $k=0$ sancer, intervé en esta factorización en exponent 1 (impar). En canvi, $45=3^2\cdot 5$ sí que és suma de dos quadrats, ya que 3 en este cas intervé en una potencia parell (2). De fet, $45=6^2+3^2$.

La qüestió del número de parelles de quadrats que la seua suma és igual a un sancer $n$ dau (és dir, el número de solucions) és més difícil i depén dels exponents dels factors de $n$ de la forma $4k+1$. Escrivint $=n^{\prime }{p}_1^a{p}_2^b{p}_3^c\cdots$ en $n^{\prime }$ només divisible per 2 i per factors primers de la forma $4k+3$, i en $p_i$, per tant, els factors de la forma $4k+1$, llavors $n$ té exactament $\frac{1}{2}(a+1)(b+1)(c+1)\cdots$ descomposicions diferents en suma de dos quadrats si a lo manco un dels exponents $a,b,c,\dots$ és impar, i $\frac{1}{2}(a+1)(b+1)(c+1)\cdots -\frac{1}{2}$ descomposicions si tots lo exponents són parells.

Una atra expressió equivalent d'este número de descomposicions la va donar Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851):

Note's que es conten totes les representacions, inclús aquelles que no diferixen més que pel signe o l'orde. Per eixemple, $5=(\pm 2{)}^2+(\pm 1{)}^2=(\pm 1{)}^2+(\pm 2{)}^2$ admet 8 representacions com sumixca de dos quadrats. Un últim aspecte important és la construcció explícita dels quadrats que la seua suma és el $n$ dau.

Història

Época antiga: primers resultats

Archiu:Diophantus-cover-Fermat.jpg

Edició de 1670 de les Aritmètiques de Diofanto d'Aleixandria.

L'interés per les suma de quadrats es remonta a l'antiguetat: es troben sumes d'este tipo en tabletas cuneïformes del principi del segon mileni abans de nostra era i dos lemes afegits a la teorema X. 28 en els Elements de Euclides expliquen cóm construir quadrats perfectes que siguen la suma o la diferència de quadrats perfectes, o al contrari, cóm no obtindre un quadrat sumant dos quadrats.

Pero és en la tradició diofántica a on es troben rastres més precisos sobre els números suma de quadrats. Les Arithmetica, escrites en una data incerta, contenen problemes en solucions racionals o sanceres. Una gran cantitat d'ells es referix als números quadrats o cúbics (en este cas als quadrats o gavetes de números reaciojnales). Per eixemple, el problema 11 del llibre II és el següent: «Afegir un mateix número a dos números donats de manera que cada u d'ells forme un quadrat», o el problema 22 del llibre IV: «Trobar tres números tals que el número sòlit procedent d'estos tres números [en atres paraules, el producte d'estos tres números], aumentat de cada u d'ells, forme un quadrat». Per a resoldre totes estes qüestions, Diofanto introduïx una «cantitat indeterminada d'unitats» que crida «arithme» i expressa en funció d'ella totes les senyes del problema (és puix un antepassat de la noció d'incògnita en àlgebra). Conseguix aixina trobar una solució numèrica particular, per eixemple per al problema II.11 la solució 97/64 si els números donats són 2 i 3.

Vàries mencions referents a la determinació dels números suma de dos quadrats apareixen de forma dispersa en diversos problemes. Per eixemple, Diofanto anota sense explicació que 15 no pot ser la suma de dos quadrats de número racional en mig de la solució del problema VI.14. En el llibre III, afirma que el número 65 és una suma de dos quadrats de dos maneres distintes, ya que és el producte de 5 i de 13, ells mateixos sumes de dos quadrats. Un atre problema fa referència al fet de «partir l'unitat en dos parts i afegir a cada fragment un número donat, en tal de formar un quadrat». Açò significa buscar una expressió de:

$\frac{a}{d}+\frac{b}{d}=1,c+\frac{a}{d},c+\frac{b}{d}$ són quadrats d'número racional. Ací $a,b,c,d\in \mathbb{N}.$

Açò significa buscar $2c+1$ com sumixca de dos quadrats. Diofanto diu explícitament que $c$ deu ser parell; en atres paraules, que la divisió de $2c+1$ entre 4 dona restant 1.

Certs llectors matemàtics de Diofanto varen estudiar de forma més sistemàtica i aritmètica els números sumixca de quadrats; en particular, la tradició en àrap del-Khazin, al-Sizji, al-Samaw'al. La seua perspectiva combina, sobre els problemes diofánticos que es presten, tècniques inspirades en l'àlgebra naixent i un punt de vista euclídeo, en particular un enfocament sobre els número entero i de proves generals. Per eixemple, ensenyen que una suma impar de dos quadrants primers entre sí és de la forma $12k+5$ o $12k+1$. Un context important és l'estudi dels triànguls rectànguls en números, o ternes pitagórico, és dir, dels números que verifiquen que $a^2+b^2=c^2$: en efecte, si els costats $a,b,c$ són primers entre sí, $c$ s'escriu com sumixca de quadrats.

XVII: Els enunciats

Archiu:Marin Mersenne.jpeg

Marin Mersenne establix un contacte epistolar sòlit entre Fermat i els seus contemporàneus.

En el XVII s'escomença una exploració més sistemàtica, en relació directa en les edicions i comentaris de les Aritmètiques de Diofanto. Més alvance apleguen els primers enunciats complets de la teorema.

Albert Girard acaba la traducció de Simon Stevin dels llibres de Diofanto i en les seues anotacions, en l'any 1634, anuncia que els números que es poden expressar com sumixca de dos quadrats són «els quadrats, els $4k+1$, els productes de números d'estes dos formes i el doble de cada número aixina obtingut», és dir, un enunciat equivalent a l'enunciat general que s'ha donat més dalt. Pero no presenta cap demostració.

Al voltant d'eixa data Marin Mersenne (1588-1648) establix en París una acadèmia de matemàtiques comunicant els resultats de diferents treballs, i recolzada sobre una important ret de corresponsals a través de tota Europa. Participen en ella personages com Étienne i Blaise Pascal, René Descartes, Bernard Frénicle de Bessy o Gilles de Roberval. Esta correspondència és una de les dos principals fonts actuals per als treballs aritmètics de Pierre de Fermat; l'atra són els seus propis comentaris a l'edició de Diofanto que va donar Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621. En els seus treballs de teoria de números, Bachet s'inscriu en la tradició de l'anàlisis diofántico sancer i, sobretot, dona demostracions a la moda euclidiana de numeroses proposicions. En particular, demostra que el producte de dos sumes de dos quadrats és la suma de dos quadrats; més precisament, en notació algebraica actual:

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac\pm bd{)}^2+(ad\mp bc{)}^2.$

Esta identitat serà fonamental per a passar del cas d'número primo al cas general.

Mersenne anima als seus corresponsals a propondre's mútuament problemes en tal de provar la seua dificultat i estimular als atres matemàtics en les seues investigacions. Un dels primers que es varen propondre a Fermat en l'any 1636 fa referència a la suma de diversos quadrats, i en març de 1638, Mersenne indica a Descartes que Fermat ha demostrat que un número de la forma $4k+3$ no és ni quadrat ni suma de dos quadrats (racionals).

En una llarga carta a Marin Mersenne datada el 25 de decembre de 1640, Fermat va enunciar els seus fonaments per a resoldre tots els problemes vinculats en les sumes de quadrats. Esta és la raó per la qual es coneix a la teorema també en el nom de Teorema de nadal de Fermat.

Tot número primo ($p$) que supera de l'unitat un número cuaternario (com $4k+1$) és una sola volta la suma de dos quadrats. Igualment el seu quadrat ($p^2$). La seua gaveta ($p^3$) i el seu quadrat-quadrat ($p^4$) són cada u dos voltes la suma de dos quadrats; el seu cuadracubo ($p^5$) i el seu cubicubo ($p^6$) són cada u tres voltes la suma de dos quadrats; etcétera fins a l'infinit.

El problema sobre les sumes de quadrats figura també en les famoses observacions que Fermat va escriure al marge de l'edició de Bachet de les Arithmétiques de Diofanto, observacions que es coneixen per la versió pòstuma publicada pel seu fill en 1670.

XVIII: ¿hi ha demostracions?

En l'objectiu de desenrollar un anàlisis sancer de l'obra de Diofanto, en demostracions, Fermat va crear un método, que crida descens infinit, que, segons les seues afirmacions, li permet aplegar a l'extrem:

Vaig estar molt temps sense poder aplicar el meu método a preguntes afirmatives, perque aplegar a elles és molt més difícil que a les negatives. De manera que, quan em va fer falta demostrar que tot número primo que supera en l'unitat a un múltiple de 4 està compost de dos quadrat, em vaig trobar en una decepció. Pero finalment una meditació diverses voltes reiterada em va donar les llums que em faltaven, i les preguntes afirmatives varen passar pel meu método, en l'ajuda d'alguns nous principis que es varen tindre que afegir per neceseidad.

No ha subsistit no obstant cap demostració completa redactada per Fermat de la seua teorema. En canvi, les ferramentes que va desenrollar permeten efectivament fabricar una i varis historiadors s'han dedicat a este eixercici de reconstrucció.

En alguns atres, com els primers casos del seu Gran Teorema, l'enunciat sobre les sumes de dos quadrats ocupa en qualsevol cas un lloc central en el programa de Fermat per a renovar la teoria de números. Catorze anys més vesprada, temps despuix de la mort de Mersenne, reapareixen estos enunciats en un proyecte d'obra que Fermat envia a Blaise Pascal, despuix en 1658 en el transcurs d'un intercanvi en els matemàtics anglesos John Wallis i William Brouncker, i un any més vesprada, en un balanç sobre la teoria de números destinada al jove Christiaan Huygens. .

XVIII: Demostracions i extensions

Archiu:Leonhard Euler 2.jpg

Leonhard Euler redacta la primera prova coneguda.

L'ambient científic d'este sigle és molt distint. Les matemàtiques s'han profesionalisat en tota Europa i revistes periòdiques, en particular les publicacions de les diverses Acadèmies de les ciències, ofreccen la possibilitat de publicar resultats i demostracions. Leonhard Euler (1707-1783) s'interessarà per la teorema dels dos quadrats, igual que per molts atres resultats de la teoria de números deixats per Fermat, i se li deuen les primeres demostracions d'estos resultats.

Va ser puix Leonhard Euler, despuix de molt esforç, el primer que va donar una demostració formal basada en descens infinit. Va ser anunciada en una carta escrita a Christian Goldbach el 12 d'abril de 1749.

Més vesprada, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) va publicar una demostració en 1775 basada en el seu estudi de formes quadràtiques. Esta demostració va ser simplificada per Gauss en el seu llibre Disquisitiones arithmeticae. Més alvance, Dedekind va donar atres dos demostracions basades en l'aritmètica dels sancers gaussianos. Hi ha inclús una demostració elegant usant el teorema de Minkowski sobre conjunts convexos.

Vore també

• Pierre de Fermat
• Menuda teorema de Fermat
• Última teorema de Fermat