Terna pitagórico

Archiu:Pythagorean tiling based on 5 and 12.svg

Terna pitagórico

Archiu:Trigonometria 01a.svg

Triàngul rectàngul en els seus tres costats i ànguls nomenats. El triàngul rectàngul les llongituts del qual dels seus tres costats siguen número entero positius, estos formen una terna pitagórico, i evidentment $a^2+b^2=c^2$

Una terna pitagórico és un conjunt ordenat de tres números sancers positius a, b, c, i són solució de l'equació diofántica quadràtica $a^2+b^2=c^2$. La nomenclatura es lliga al teorema de Pitágoras, el qual afirma que en qualsevol triàngul rectàngul, es complix que $r^2+s^2=t^2$ (a on t és la llongitut de la hipotenusa; i les atres variables, llongituts de catetos, en número entero). En sentit recíproc també es complix, o siga, qualsevol terna pitagórico es pot associar en les llongituts dels dos catetos i de l'hipotenusa corresponent, formant un triàngul rectàngul.

Definició

Archiu:Pythagorean theorem - Ani.gif

Animació demostrant la terna pitagórico més simple, 3² + 4² = 5²

Als número entero $u,v,w,$ que satisfan l'equació diofantina de segon grau $u^2+v^2=w^2$, se'ls crida números pitagórico.

Ternes pitagórico primitives

Les ternes pitagórico solen representar-se com (a, b, c). Les ternes que els seus tres números són primers relatius són denominats ternes pitagórico primitives o números pitagórico. Les 16 primeres ternes pitagórico primitives, en c ≤ 100 són:

( 3 , 4 , 5 )	( 5, 12, 13)	( 8, 15, 17)	( 7, 24, 25)
( 9, 40, 41)	(11, 60, 61)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(16, 63, 65)	(20, 21, 29)	(28, 45, 53)	(33, 56, 65)
(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

Història

Des d'un punt de vista històric, Pitágoras (570-490 a. C.) va ser qui va plantejar el problema lligat a la construcció de triànguls rectànguls, els costats dels quals foren llongituts sanceres. En qualsevol cas, es proponia resoldre l'equació:

$a^2+b^2=c^2$

per a valors sancers de $a,b,c$. Pitágoras va trobar infinites solucions al problema en la forma de tres equacions

$\{\begin{array}{cc}a& =j^2-1\\ b& =2j\\ c& =j^2+1\end{array}$

dependents del paràmetro sancer positiu j, com pot ser l'eixemple $15^2+8^2=17^2$.

L'estudi de les ternes pitagórico va començar abans de l'época de Pitágoras (VI a. C.). Mil anys abans del naiximent d'este filòsof i matemàtic grec, en l'Antiga Babilonia ya es traçaven triànguls i ternes pitagórico per a delimitar les terres. S'han trobat taules babilòniques que contenen algunes d'estes ternes, i que sugerixen que els babilonios tenien algun método per a generar-les. També existix evidència del seu us en l'antic Egipte per a generar ànguls rectes, els quals eren utilisats en chicotetes construccions. És dir que s'atribuïx als babilonios ser els primers en trobar ternes pitagórico, les quals estan registrades en la tablilla Plimpton 322, alguns investigadors suponen que per a generar dites ternes varen utilisar la fòrmula:

$\{\begin{array}{cc}a& =m^2-n^2\\ b& =2mn\\ c& =m^2+n^2\end{array}$

com a m>n, la qual també apareix en el llibre dècim de Els Elements de Euclides.

Vore també

• Teorema de Pitágoras
• Número primo pitagórico
• Última teorema de Fermat