Descens infinit

En matemàtiques i en teoria de la demostració, el descens infinit és un método per a demostrar una afirmació sobre número natural, consistent en dir que cap dels número natural d'un cert subconjunt satisfà certa propietat. En térmens formals el descens infinit és un método de demostració per a provar rigorosament una proposició de la forma:

A on:

$\mathrm{\forall }$ és el quantificador universal, lligga's "per a tot".

$A\subset \mathbb{N}$ és un cert subconjunt dels número natural, que pot coincidir de fet en el propi conjunt dels número natural.

$\mathrm{\neg }$ és el conector negatiu "no".

$P(\cdot )$ és un predicat unario, que servix per a afirmar una miqueta d'un determinat número natural.

Introducció

El método del descens infinit va ser introduït pel matemàtic Pierre de Fermat en el XVII. El método es basa a la seua volta en l'axioma de que el conjunt dels número natural és un conjunt ben ordenat. La bona ordenació implica que:

Si existix un n tal que P(n) siga verdadera, llavors, existix un element mínim x dins de N tal que P(x) és verdadera.

Despuix de demostrar que no existix dit número definint una i a partir de x tal que i siga un número natural (segons l'estructura que nos proveïx l'asseveració) i ademés que es tinga i < x, luego que la prova de lloc tirara que es pot fer lo mateix en i (definir una z de manera anàloga a lo antedicho), etc., la qual cosa deixa en una condició de descens infinit, per això, es demostra que no existix tal x, llavors, com el principi del bon ordenament és una condició necessària en el conjunt de les supostes n que fan a P(n) verdadera i com el descens infinit prova que el principi del bon ordenament falla, es conclou que no existix n que satisfaça la proposició P.

Equivalència

cal mencionar que Pierre de Fermat, en moltes de les seues demostracions, va acodir a el "método del descens infinit" (descente infinie) que no és una atra cosa que el principi de bona ordenació (tot conjunt no buit d'número natural posseïx un número mínim). Precisament, va usar el MDI per a mostrar el seu "famosa teorema" per a n = 4.

• EL MDI pot enunciar-se aproximadament aixina: Si, suponent que un problema admet una solució sancera n > 0, deduïm que posseïx una solució sancera n' > 0, n' < n, llavors el problema no admet solucions sanceres positives.

Vore també

• Reductio ad absurdum