Reductio ad absurdum

Reductio ad absurdum, expressió llatina que significa lliteralment 'reducció a l'absurt', és un dels métodos llògics de demostració més usat en matemàtiques per a demostrar la validea (o invalidea) de proposicions categòriques.

Es partix per supondre com a hipotètica falsetat de la tesis de la proposició a demostrar i, per mig d'una concatenació d'inferèncias llògicas vàlides, es pretén aplegar a una contradicció llògica, un absurt. D'aplegar a una contradicció, es conclou que la tesis (que s'havia supost falsa al principi) ha de ser verdadera.

Para demostrar l'invalidea d'una proposició, se supon com a punt de partida que la proposició és certa. Si la derivació final és una contradicció, es conclou que la proposició original és falsa i l'argument és inválido.

A este método també se li coneix com a prova per contradicció o prova ad absurdum. Part de la base és el compliment del Principi de no contradicció: una proposició que no pot ser falsa és necessàriament verdadera, i una proposició que no pot ser verdadera és necessàriament falsa.

El seu us en matemàtiques

La demostració per reducció a l'absurt és un tipo d'argument molt amprat en demostracions matemàtiques.

Consistix en demostrar que una proposició matemàtica és verdadera, provant que si no ho anara conduiria a una contradicció, per la qual cosa seria verdadera.

Per a obtindre una prova vàlida deu demostrar-se que, donada una proposició $P$, «no $P$» implica una propietat falsa en el sistema matemàtic utilisat. El perill és la falàcia llògica de l'argumentació per ignorança, per mig de la qual es prova que «no $P$» implica una propietat $Q$ que sembla falsa, pero que realment no s'ha demostrat tal falsetat.

Un eixemple clàssic d'esta falàcia és la falsa demostració d'un quint postulat d'Euclides a partir dels anteriors. Degut a que quan es varen establir eixes proves no existia una atra Geometria que l'euclidiana, semblaven correctes. Despuix de l'aparició d'atres geometria es va demostrar que el sistema era incorrecte. Per a una explicació més profunda d'estes falàcies pot vore's Mathematical Thought: from Ancient to Modern Claves, de Morris Kline.

Encara que en demostracions matemàticas este método s'utilisa en gran llibertat, no totes les escoles de pensament matemàtic accepten la reducció a l'absurt com universalment vàlida. En escoles com la del intuicionismo, la llei d'exclusió d'intermijos no s'accepta com a vàlida. Des d'este punt de vista hi ha una diferència molt significativa entre demostrar que per mig d'un eixemple real d'un «alguna cosa» que existix seria absurt demostrar la seua no existència.

Eixemples

No existix un número racional mínim major que zero

Supongam que es desija demostrar una proposició P. El procediment consistix en demostrar que assumint com a certa la falsetat de P (o siga P negada) conduïx a una contradicció llògica. Llavors P deuria no ser falsa. Per lo tant, té que ser verdadera.

Per eixemple, considere's la proposició «no existix un número racional mínim major que zero». En una reducció a l'absurt es començaria per assumir lo contrari i la nostra tesis seria: existix un número racional mínim major que zero: $r_0$.

Ara prengam $x=r_0/2$. Per lo tant, $x$ és un número racional major que zero, i $x<r_0$. Això és un absurt, puix contradiu l'hipòtesis de partida de que $r_0$ era l'número racional mínim. Per lo tant, es deu concloure que la proposició assumida com a certa: «hi ha un número racional mínim major que zero» és falsa.

No és inusual utilisar este tipo de raonaments en proposicions com l'enunciada, sobre l'inexistència de cert element matemàtic. Se supon que eixe element existix i es prova que això conduïx a una contradicció. Per lo tant, eixe objecte no existix.

¿Hi ha infinits número primo?

Existixen numeroses demostracions sobre que existixen infinits número primo, la primera de la que es té constància és d'Euclides, a on queda demostrat per mig de Reductio ad absurdum en la Proposició 20 del llibre IX de Elements (Hi ha més número primo que qualsevol cantitat proposta d'número primo).

Partint de supondre que lo cert és lo contrari, per la qual cosa nostra tesis quedaria: «Els número primo són finitos», llavors tenim $n$ número primo que serien $P=p_1,p_2,\mathrm{...},p_n$.

Llavors es pren ara el següent número:

$m=p_1\cdot p_2\cdot \mathrm{...}\cdot p_n+1$

Tenim que $m$ és el producte de tots els número primo més 1, i  $m$ no és un número primo, puix no es troba en la llista anterior, llavors per definició  $m$ és un número compuesto i deu ser divisible per algun número primo.

Si fem la divisió entre qualsevol número primo de la llista $P=p_1,p_2,\mathrm{...},p_n$, nos ix restant 1, per la qual cosa deu existir a lo manco un atre número primo que no es troba en eixa llista.

Llavors apleguem a una contradicció de la nostra tesis «Els número primo són finitos» que és falsa, per la qual cosa existixen infinits número primo.

La raïl quadrada de 2 és irracional

Un eixemple és la demostració de que la raïl quadrada de 2 és un número irracional. L'afirmació inicial (nostra tesis) és la contrària, és dir, que: «la raïl quadrada de 2 és un número racional».

En ser un número racional, anem a expressar-ho com $p/q$; llavors quedaria:

$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, $p,q\in \mathrm{Z}/q\ne 0$ (a on $p$ i $q$ són número entero, $q$ és distint de 0).

Sense pèrdua de generalitat es pot supondre que p i q són positius (si els dos anaren negatius, bastaria multiplicar-los per -1) i que són cosins entre sí, és dir, no compartixen factor comú algun (ya que si hi haguera factors comuns, els podem simplificar i quedar-nos en la fracció irreducible resultant). Ara elevem abdós membres al quadrat:

$2=\frac{p^2}{q^2}$

Multiplicant en abdós costats per $q^2$, es té:

$2q^2=p^2$

L'expressió $2q^2$ és un número par, per lo que $p$ també és parell (de no ser-ho, $p^2$ no seria parell, i no es podria complir l'igualtat).

Siga $p=2n$, a on $n$ és un número entero. Substituint, l'expressió quedaria:

$2q^2=(2n{)}^2=4n^2$

Podem simplificar dividint per dos en abdós parts i obtindre que

$q^2=2n^2$

Pel mateix raonament d'abans, a on $2n^2$ és un número par, $q^2$ també és parell, com lo és $q$.

Com $p$ i $q$ són parells, tenen a lo manco un factor comú, $2$. Açò entra en contradicció en la suposició anterior, de que els números $p$ i $q$ no tenien factors en comú. Com esta elecció de $p$ i $q$ es va fer sense pèrdua de generalitat i el raonament posterior és correcte, això implica que la premissa inicial de que $\sqrt{2}$ era racional és falsa.
Després $\sqrt{2}$ és irracional. Q.E.D.

Vore també

• Modus tollendo tollens
• Reductio ad Hitlerum
• Prova per contradicció
• Llista de prejuïns cognitius